Уточнение корней методом простых итераций

Уточнение корней методом простых итераций

На этапе отделения корней решается задача отыскания возможно более узких отрезков , в которых содержится один и только один корень уравнения.

Этап уточнения корня имеет своей целью вычисление приближенного значения корня с заданной точностью. При этом применяются итерационные методы вычисления последовательных приближений к корню: x, x1, . xn, …, в которых каждое последующее приближение xn+1вычисляется на основании предыдущего xn. Каждый шаг называется итерацией. Если последовательность x, x1, . xn, …при n ® ¥ имеет предел, равный значению корня , то говорят, что итерационный процесс сходится.

Существуют различные способы отделения и уточнения корней, которые мы рассмотрим ниже.

Отделение корней

Корень уравнения f(x)=0считается отделенным (локализованным) на отрезке , если на этом отрезке данное уравнение не имеет других корней. Чтобы отделить корни уравнения, необходимо разбить область допустимых значений функции f(x) на достаточно узкие отрезки, в каждом их которых содержится только один корень. Существуют графический и аналитический способы отделения корней.

Графическое отделение корней

Графическое отделение корнейосновано на графическом способе решения уравнений – отыскании точек, в которых функция f(x)пересекает ось 0Х.

Пример 1.2.2-1. Отделить корни уравнения ln (x-1) 2 – 0.5 = 0.

На рис. 1.2.2-1 изображен график функции y = ln (x-1) 2 – 0.5, из которого следует, что уравнение имеет два действительных корня [-1;0] и [2;3].

В некоторых случаях удобно вначале преобразовать функцию f(x) к виду f(x)=g1(x)— g2(x), из которого, при условии f(x)=0, следует, что g1(x)=g2(x). При построении графиков y1=g1(x)и y2=g2(x)находят отрезки, содержащие точки пересечения этих графиков.

Пример 1.2.2-2. Отделить корни уравнения сos(x) – x + 1 = 0.

Приведем исходное уравнение к виду сos(x)= x – 1. Построив графики функций y1 = сos(x) и y2 = х – 1 (рис. 1.2.2), выделим отрезок, содержащий корень [1;2].

Аналитическое отделение корней

Аналитическое отделениекорней основано на следующей теореме.

Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на отрезке [a;b] содержится один корень уравнения f(x)=0.

Действительно, если условия теоремы выполнены, как это имеет место на отрезке [a;b] (рис. 1.2.2-3), то есть f(a)∙f(b) 0 для xÎ [a;b], то график функции пересекает ось только один раз и, следовательно, на отрезке [a;b] имеется один корень уравнения f(x) = 0.

Аналогично можно доказать единственность корня на отрезке [c;d], на[d;e]и т.д

Таким образом, для отделения корней нелинейного уравнения необходимо найти отрезки, в пределах которых функция монотонна и изменяет свой знак. Принимая во внимание, что непрерывная функция монотонна в интервалах между критическими точками, при аналитическом отделении корней уравнения можно рекомендовать следующий порядок действий:

1)установить область определения функции;

2)определить критические точки функции, решив уравнение f¢(x)=0;

3)составить таблицу знаков функции f(x) в критических точках и на границах области определения;

Читайте также:  Почему не устанавливаются программы на windows 10

4)определить интервалы, на концах которых функция принимает значения разных знаков.

Пример 1.2.2-3. Отделить корни уравнения x — ln(x+2) = 0.

Область допустимых значений функции f(x) = x — ln(x+2) лежит в интервале (-2; ∞), найденных из условия x+2>0. Приравняв производную f¢(x)=1-1/(x+2) к нулю, найдем критическую точку хk= -1. Эти данные сведены в табл. 1.2.2-1 и табл. 1.2.2-2 знаков функции f(x).

Таблица 1.2.2-1 Таблица 1.2.2-.2

x x→-2 -1 x→∞ x -1.9 -1.1 -0.9 2.0
Sign(f(x)) + + Sign(f(x)) + +

Уравнение x — ln(x+2) = 0 имеет два корня (-2;-1]и [-1; ∞) . Проверка знака функции внутри каждого из полученных полуинтервалов (табл.1.2.2) позволяет отделить корни уравнения на достаточно узких отрезках [-1.9;-1.1]и [-0.9;2.0].

Уточнение корней

Задача уточнения корня уравнения с точностью , отделенного на отрезке [a;b], состоит в нахождении такого приближенного значения корня , для которого справедливо неравенство .Если уравнение имеет не один, а несколько корней, то этап уточнения проводится для каждого отделенного корня.

Метод половинного деления

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном отрезке непрерывна.

Метод половинного деления позволяет получить последовательность вложенных друг в друга отрезков [a1;b1], [a2;b2], …,[ai;bi],…, [an;bn], таких что f(ai).f(bi) 3 +x-1=0 с точностью =0.1, который локализован на отрезке [0;1].

Результаты удобно представить с помощью таблицы 1.2.3-3.

k a b f(a) f(b) (a+b)/2 f((a+b)/2) a k b k
-1 0.5 -0.375 0.5
0.5 -0.375 0.75 0.172 0.5 0.75
0.5 0.75 -0.375 0.172 0.625 -0.131 0.625 0.75
0.625 0.75 -0.131 0.172 0.688 0.0136 0.625 0.688

После четвертой итерации длина отрезка |b4-a4| = |0.688-0.625| = 0.063 стала меньше величины e, следовательно, за приближенное значение корня можно принять значение середины данного отрезка: x = (a4+b4)/2 = 0.656.

Значение функции f(x) в точке x = 0.656 равно f(0.656) = -0.062.

Метод итерации

Метод итераций предполагает замену уравнения f(x)=0 равносильным уравнением x=j(x). Если корень уравнения отделен на отрезке [a;b], то исходя из начального приближения xÎ[a;b], можно получить последовательность приближений к корню

x1 = j(x), x2 = j(x1), …, , (1.2.3-3)

где функция j(x) называется итерирующей функцией.

Условие сходимости метода простой итерации определяется следующей теоремой.

Пусть корень х* уравнения x=j(x) отделен на отрезке [a;b]и построена последовательность приближений по правилу xn=j(xn-1). Тогда, если все члены последовательности xn=j(xn-1) Î [a;b] и существует такое q (0 -1. Таким образом, очевидно, что если |j’(x)| 1. На рис. 1.2.3-4а показан случай, когда j’(x)>1, а на рис. 1.2.3-4b – когда j’(x)

Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x). Теорема.

Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

1) функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a,b];

Читайте также:  Сколько киловатт в кубометре природного газа

Для оценки погрешности n-го приближения используется формула Dxn

£ q n xx .
1 — q

Приняв за нулевое приближение xn-1 и учитывая, что при 0 n

погрешности n-го приближения можно использовать формулу Dxn £ q x nx n-1 .
q

Значение q можно получить как верхнюю грань модуля производной |f’(x)| при xÎ[a,b].

Чем q меньше, тем быстрее сходится ряд.

Чтобы Dxn £ e достаточно потребовать q xn x n-1 £ e , откуда получим условие
q

Преобразование к итерационному виду

1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x).

Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному уравнению x = x – m F(x), таким
образом, f(x) = x – m F(x).
Исходя из третьего условия теоремы: ($q) ("xÎ[a,b]) [ |f’(x)|£q 1, то от функции вида y=f(x)переходят к функции
x=g(y), обратной для f(x). При этом рассматривается уравнение y=g(y) или x=g(x),

причем по свойству обратных функций g ¢(x) = ой итерации проводится касательная к графику функции y=F(x) при x=ck и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом достаточно задать начальное приближение c, а не указывать отрезок [a,b].

Уравнение касательной к графику функции y=F(x) в точке x0 имеет вид:

yF(x0)= F ¢(x0)(xx0). Пересечение с осью Ox находится из условия y=0, откуда

x = x F (x)
F ¢(x)

Таким образом, получим формулу для нахождения последовательности c1, c2 точек

пересечения касательных с осью абсцисс: ci+1 = ci F (ci )
F ¢(ci )

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Другим представителем итерационных методов является метод простой итерации.

Здесь уравнение f(x)=0заменяется равносильным уравнениеми строится последовательность значений

.

Рис. 6 Геометрическая интерпретация метода простой итерации

Отсюда может быть построен итерационный процесс

.

Возьмем для примера уравнение x 3 + x -1000 = 0. Очевидно, что корень данного уравнения несколько меньше10. Если переписать это уравнение в видеx =1000 – x 3 и начать итерационный процесс приx=10, то из первых же приближений очевидна его расходимость. Если же учестьf ‘(x)=3x 2 +1>0и принять за приближенное значение максимумаf ‘(x) M=300, то можно построить сходящийся итерационный процесс на основе представления

.

Можно и искусственно подобрать подходящую форму уравнения, например:

или .

Циклические ссылки

Если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на эту же самую ячейку (может быть и не напрямую, а опосредованно – через цепочку других ссылок), то говорят, что имеет место циклическая ссылка (цикл). На практике к циклическим ссылкам прибегают, когда речь идет о реализации итерационного процесса, вычислениях по рекуррентным соотношениям. В обычном режиме Excel обнаруживает цикл и выдает сообщение о возникшей ситуации, требуя ее устранения. Excel не может провести вычисления, так как циклические ссылки порождают бесконечное количество вычислений. Есть два выхода из этой ситуации: устранить циклические ссылки или допустить вычисления по формулам с циклическими ссылками (в последнем случае число повторений цикла должно быть конечным).

Читайте также:  Найти iphone без icloud

Рассмотрим задачу нахождения корня уравнения методом Ньютона с использованием циклических ссылок. Возьмем для примера квадратное уравнение: х 2 – 5х + 6=0, графическое представление которого приведено на 7 Найти корень этого (и любого другого) уравнения можно, используя всего одну ячейку Excel.

Для включения режима циклических вычислений в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления включаем флажок Итерации, при необходимости изменяем число повторений цикла в поле Предельное число итераций и точность вычислений в поле Относительная погрешность (по умолчанию их значения равны 100 и 0,0001 соответственно). Кроме этих установок выбираем вариант ведения вычислений: автоматически или вручную. При автоматическом вычислении Excel выдает сразу конечный результат, при вычислениях, производимых вручную, можно наблюдать результат каждой итерации.

Рис. 7. График функции

Выберем произвольную ячейку, присвоим ей новое имя, скажем – Х, и введем в нее рекуррентную формулу, задающую вычисления по методу Ньютона:

,

где FиF1задают соответственно выражения для вычисления значений функции и ее производной. Для нашего квадратного уравнения после ввода формулы в ячейке появится значение2, соответствующее одному из корней уравнения (рис. 8). В нашем случае начальное приближение не задавалось, итерационный вычислительный процесс начинался со значения, по умолчанию хранимого в ячейкеХи равного нулю. А как получить второй корень? Обычно это можно сделать изменением начального приближения. Решать проблему задания начальных установок в каждом случае можно по-разному. Мы продемонстрируем один прием, основанный на использовании функции ЕСЛИ. С целью повышения наглядности вычислений ячейкам были присвоены содержательные имена (рис 8).

В ячейку Хнач(В4) заносим начальное приближение – 5.

В ячейку Хтекущ(С4) записываем формулу:=ЕСЛИ(Хтекущ=0;Хнач; Хтекущ-(Хтекущ^2-5*Хтекущ+6)/(2*Хтекущ-5)).

В ячейку D4 помещаем формулу, задающую вычисление значения функции в точке Хтекущ, что позволит следить за процессом решения.

Заметьте, что на первом шаге вычислений в ячейку Хтекущбудет помещено начальное значение, а затем уже начнется счет по формуле на последующих шагах.

Чтобы сменить начальное приближение, недостаточно изменить содержимое ячейки Хначи запустить процесс вычислений. В этом случае вычисления будут продолжены, начиная с последнего вычисленного

Рис. 8. Определение начальных установок

значения. Чтобы обнулить значение, хранящееся в ячейке Хтекущ, нужно заново записать туда формулу. Для этого достаточно для редактирования выбрать ячейку, содержащую формулу, дважды щелкнув мышью на ней (при этом содержимое ячейки отобразится в строке формул). Щелчок по кнопке (нажатие клавиши)Enterзапустит вычисления с новым начальным приближением.

Ссылка на основную публикацию
Установка строго с биоса
БИОС – основа, на которой работает вся система компьютера. Именно с его помощью осуществляется выполнение ввода или вывода информации, а...
Уровень интенсивности в дб формула
Очень часто новички сталкивается с таким понятием, как децибел. Многие из них интуитивно догадываются, что это такое, но у большинства...
Усилитель wifi сигнала для роутера какой выбрать
Привет! Поговорим сегодня про усилители Wi-Fi сигнала. Переезд столкнул меня лицом к лицу с новой проблемой – площадь увеличилась, а...
Установка тахометра на дизель
И так…тахометр для дизеля …мечта многих владельцев старых тарахтелок в большинстве которых тахометра просто не было с завода…В старых дизельных...
Adblock detector