Условие компланарности векторов в пространстве

Условие компланарности векторов в пространстве

Компланарность — свойство трёх (или большего числа) векторов, которые, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости [1] .

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными. Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, это свойство — основной критерий компланарности трёх векторов. Эквивалентный критерий компланарости — линейная зависимость компланарных векторов: существуют действительные числа λ 1 , λ 2 <displaystyle lambda _<1>,lambda _<2>> такие, что a → = λ 1 b → + λ 2 c → <displaystyle <vec >=lambda _<1><vec >+lambda _<2><vec >> для компланарных a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> , за исключением случаев b → = 0 → <displaystyle <vec >=<vec <0>>> или c → = 0 → <displaystyle <vec >=<vec <0>>> .

В трёхмерном пространстве три некомпланарных вектора a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> образуют базис. То есть любой вектор d → ∈ R 3 <displaystyle <vec >in mathbb ^<3>> можно представить в виде: d → = x 1 a → + x 2 b → + x 3 c → <displaystyle <vec >=x_<1><vec >+x_<2><vec >+x_<3><vec >> . Тогда < x 1 , x 2 , x 3 ><displaystyle ;<1>,x_<2>,x_<3>>> будут координатами d → <displaystyle <vec >> в данном базисе.

Обобщения [ править | править код ]

Критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а, например, как элементы произвольного векторного пространства.

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), некомпланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Единого обозначения компланарность не имеет.

Свойства компланарности

Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

Читайте также:  Силовой кабель для монитора

  • Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
  • Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
  • Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов.
  • Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
  • Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
  • В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Другие объекты

Выше описанные критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного векторного пространства).

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), не компланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Ссылка на основную публикацию
Уровень интенсивности в дб формула
Очень часто новички сталкивается с таким понятием, как децибел. Многие из них интуитивно догадываются, что это такое, но у большинства...
Удалить программу через консоль
Операционная система Windows предлагает несколько способов для удаления установленных приложений и программ. Некоторые пользователи даже прибегают к использованию стороннего программного...
Удалить раздел жёсткого диска
Столкнулись с проблемой, что невозможно удалить EFI раздел с жёсткого диска в Windows? Не волнуйтесь данную проблему можно решить довольно...
Усилитель wifi сигнала для роутера какой выбрать
Привет! Поговорим сегодня про усилители Wi-Fi сигнала. Переезд столкнул меня лицом к лицу с новой проблемой – площадь увеличилась, а...
Adblock detector