Уравнение тора в декартовой системе координат

Уравнение тора в декартовой системе координат

Поверхностью вращения называется поверхность, обладающая следующим свойством: любое ее сечение плоскостью, проходящей через точку поверхности, перпендикулярной к некоторой прямой l (ось вращения), содержит окружность (параллель), центр которой лежит на прямой l и которая проходит через взятую точку.

Меридианом поверхности вращения называют ее сечение плос­костью, проходящей через ось вращения. Иногда меридианом на­зывают сечение поверхности вращения полуплоскостью, ограни­ченной осью вращения.

Говорят, что поверхность вра­щения получается вращением ее меридиана (любого) вокруг оси l (рис. 64).

Теорема. Пусть относительно декартовой прямоугольной систе­мы координат хОу на плоскости задан меридиан С поверхности вращения уравнением

Тогда уравнение поверхностиП, образованной вращением линии С вокруг оси Ох в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz (рис. 65), будет иметь вид

. (2)

Доказательство. Расстояние от произвольной точки М(х,у,z) пространства до оси Ох равно . Поэтому точ­ка М(х,у,z) пространства лежит на поверхности П тогда и только тогда, когда точка Р плоскости хОу с абсциссой х и орди­натой лежит на данном ее меридиане, т. е. тогда и только тогда, когда выполнено соотношение (2).

Пример 1. Рассмотрим уравнение окруж­ности радиуса а с центром в начале декартовой прямоугольной системы координат хOу. При вращении этой окружности вокруг оси Ох получим сферу радиуса а с центром в начале координат. Уравнение этой сферы на основа­нии предыдущей теоремы имеет вид или

Пример 2. Рассмотрим прямую, заданную уравнением y=kx относительно декартовой прямоугольной системы координат.

Уравнение поверхности вращения, полученной при вращении этой прямой вокруг оси Ох, т. е. уравнение прямого кругового конуса с вершиной в на­чале координат, имеющего своей осью Ох, имеет вид (знак + берется для тех значений х, для которых kx>, а знак — для тех значений х, для которых kx a > 0, то перед радикалом надо взять только знак +, если -b>а>0, то только знак — . Если

которое эквивалентно уравнению

. (2)

Если b>а>0, то эта поверхность называется тором (рис. 66).

Получим параметрические уравнения этого тора. Пусть С-центр окружности произвольного сечения тора полуплоскостью, проходящей через ось Ox; M(x,y,z) — произвольная точка, лежащая на окружности

Рис 66.

(С); R-проекция точки М на плоскость zOу, а Р и Q — проекции точки R на оси Oz и Оу (рис. 67). Обоз­начим через и угол от оси Оу до оси ОС в плоскости уОz, а через — угол от луча до луча в плоскости СОх (которая ориентирована ориентирован­ным углом . Тогда:

Итак, параметрические уравнения тора:

Область D изменения параметров и и такова:

. (D)

Параметр и называется долготой точки M тора, а параметр широтой. Исключим из уравнений (3) параметры и и . Имеемоткуда .

Далее, ,

то же уравнение, что и полученное выше.

Дата добавления: 2014-01-05 ; Просмотров: 755 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Гирш Антон Георгиевич (Universität Kassel)

Аннотация

Начертательная, как и элементарная геометрия, своими абстракциями изучает реальный мир. Но евклидова геометрия реального мира сопряжена с псевдоевклидовой геометрией и они составляют одну сопряжённую пару. Как следствие, каждая реальная фигура сопряжена с некоторым мнимым образом. Доклад, кроме некоторых научных фактов, показывает присутствие в геометрических конструкциях мнимых образов, проявляющих себя как сингулярности или как ГМТ в сопряжённых парах реальное – мнимое.

Ключевые слова: вращение; ось; окружность; сфера; тор; мнимое сопровождение; сингулярность; двойные точки.

Введение

1. Круговой тор

Поверхность получается от вращения окружности вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось не пересекает образующую окружность, то поверхность называют открытым тором; если ось пересекает образующую окружность, то поверхность называют закрытым тором; и, если ось вращения проходит через центр образующей окружности, то поверхность есть сфера.

Открытый тор ассоциируется с бубликом, закрытый тор – с яблоком.

У равнение образующей окружности: (x — R) 2 +z 2 = r 2 (1)
Переход к уравнению тора делается подстановкой x=Sqrt(x 2 + y 2 ) в уравнении (1). После приведения подобных, получают уравнение поверхности тора:

(x 2 + y 2 + z 2 + R 2 — r 2 )2 — 4R 2 (x 2 + y 2 ) = 0, (2)

где r – радиус образующей окружности, R – радиус направляющей окружности.

Каждый круговой тор имеет на оси вращения две узловые точки, удалённые от центра поверхности на расстояние l = Sqrt(r 2 + R 2 ).

Открытый тор имеет две мнимые узловые точки на оси вращения, закрытый тор имеет две действительные узловые точки, которые в частном случае могут слиться в одну. Действительно, положив в уравнении (2) x = 0, y = 0, получим z 2 = r 2 — R 2 . В случае R = r две двойные точки сливаются в одну.

Исследование тора сечениями.

  1. Произвольное плоское сечение кругового тора есть кривая четвёртого порядка, что следует и из степени уравнения (2). Плоская кривая порядка распадается на кривые более низкого порядка, если кривая содержит более чем двойных точек. Число возможных двойных точек алгебраической кривой порядка по MacLaurin d=(n — 1)(n — 2)/2. Нераспадающаяся кривая четвёртого порядка может иметь до трёх двойных точек. Если кривая имеет одной точкой больше, то она распадается. Четыре двойные точки – это двойные точки N1 и N2 на оси вращения и циклические точки I1 и I2.
  2. Осевое сечение тора (меридиан) распадается на две окружности – в плоскости сечения лежат обе пары названных двойных точек.
  3. Нормальное к оси сечение тора (параллели) распадается на две концентрические окружности, проходят через циклические точки.
  4. Сечение тора дважды касательной плоскостью распадается на две окружности Вилларсо – в плоскости сечения лежат две точки касания и циклические точки.
  5. Сечение тора плоскостями, параллельными оси вращения есть нераспадающиеся кривые четвёртого порядка – кривые Персея. Когда плоскость получает касание внутренней части поверхности, кривая приобретает узел и переходит в лемнискату Бута. При соотношении параметров тора R = 2r лемниската Бута переходит в лемнискату Бернулли [2].
Читайте также:  Как передать видео с айфона на макбук

Три вида точек поверхности тора.

В точке поверхности определяется Гауссова кривизна K = k1k2. Знак Гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При K > 0, где k1 и k2 имеют одинаковые знаки, точку называют эллиптической, при K

  1. Внешняя область поверхности тора имеет в каждой точке K > 0. Точки поверхности, достаточно близкие к эллиптической точке, все расположены по одну сторону от плоскости, касательной в данной точке.
  2. Внутренняя область поверхности тора в каждой точке имеет K
  3. Линия пересечения названного цилиндра (R) с тором разделяет поверхность на эллиптическую и гиперболическую области и сама состоит из параболических точек

Площадь поверхности и объём тора.

Тор служит идеальным примером для приложения двух знаменитых формул Гульдина [1]:

  1. Площадь S поверхности вращения равна произведению длины l образующего контура на длину окружности, описываемой центром тяжести образующего контура, S = l · 2πR: → S = 2πr · 2πR = 4π 2 rR.
  2. Объём V тела вращения равен произведению площади s образующего контура на длину окружности, описываемой центром тяжести образующего контура, V = s · 2πR: → V = 2πr 2 · 2πR = 4π 2 r 2 R.

2. Мнимое сопровождение тора

Показ этой конструкции объяснит происхождение мнимых двойных точек на оси вращения тора. Итак, образующая окружность c(r) имеет мнимое расширение в форме равнобочной гиперболы h(r), рис.1а. Равносторонняя гипербола h при своём вращении вокруг оси заметает поверхность, которая распадается на четыре части, рис.1b (на рисунке для наглядности мнимый образ показан сплошной линией, а действительная фигура – штриховой). Ветвь гиперболы h, удалённая от оси вращения a, заметает поверхность, похожую на однополостный гиперболоид. Ветвь гиперболы h, пересекающая оси вращения a, заметает поверхность, распадающуюся на три составляющие: веретено N1N2 и два гиперболических конуса, с вершинами N1 и N2, рис.1b. Для гиперболы h с уравнением (x — R) 2 — z 2 = r 2 точки N1 и N2 имеют координаты z12=Sqrt(R 2 — r 2 ). В евклидовом пространстве мнимые образы не имеют изображения, но их сингулярности продолжают проявляться – на оси вращения открытого тора проявляют себя две двойные точки N1 и N2, которые и указаны в предложении, п.1.

* Guldin T. (1635), швейцарский математик, во французской транскрипции читается Гюльден [1].

. 3. Сфера от вращения окружности

Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, нормально проецирующейся на плоскость окружности в её диаметр. Центр сферы нормально проецируется на плоскость образующей окружности в её центр. Радиус сферы равен длине отрезка от центра сферы до периферийной точки образующей окружности.

В общем случае образующая окружность при вращении вокруг оси заметает только сферический пояс. Но это при геометрическом или, если угодно, физическом вращении. При аналитическом вращении, т.е. при написании уравнения поверхности вращения по данной оси и данному уравнению образующей окружности, получается уравнение полной сферы. Не сферического пояса! Отметим, что в аналитической геометрии не бывает уравнения отрезка линии или отсека поверхности, а есть уравнения полных образов – прямой, сферы, тора и др., которые задаются их элементами. В [5] было показано, как сферический пояс завершается до полной сферы в комплексном пространстве за счёт её мнимого расширения.

Пусть ось расположена параллельно образующей окружности c(r) на расстоянии от плоскости. Покажем вывод уравнения сферы рис.2.

Уравнение образующей окружности:

Каждая точка A окружности c(r) описывает в плоскости y параллель радиуса ρ с центром на оси a, уравнение параллели x 2 + y 2 = ρ 2 , где ρ 2 = b 2 + yA 2 . Сделав подстановку значения ρ 2 в уравнение параллели, поучают: x 2 + y 2 = b 2 + yA 2 , или, yA 2 = x 2 + y 2 — b 2 . Точка A пробегает всю образующую окружность c(r), потому выражение для yA подставляют в уравнение (3) и получают уравнение сферы Ω:

x 2 + y 2 +z 2 = r 2 + b 2 . (4)

  1. Радиус полученной сферы Ω больше радиуса образующей окружности c, r 2 + b 2 > r 2 . Очевидно, окружность c при своём вращении вокруг оси a не может заполнить всю поверхность сферы Ω (Это к вопросу "полярных шапочек", которые при геометрическом вращении остаются незаполненными [5].)
  2. Конструкция рис.2 позволяет в качестве образующей брать и мнимую окружность c(ir). Если действительная образующая окружность при своём вращении вокруг оси a заметает действительную сферу Ω(R = Sqrt(r 2 + b 2 ), то мнимая образующая окружность c(ir) также может определить действительную сферу Ω(R = Sqrt(b 2 — r 2 ). Но определяемая сфера может быть и мнимой и даже выродиться в точку без того, чтобы образующая окружность выродилась в точку и совпала с осью вращения. Радиус конструируемой сферы зависит от соотношения параметров r и b в выражении Sqrt(b 2 — r 2 ):
    a) b > r , сфера Ω действительная, рис.3а;
Читайте также:  Установка чистого андроида на смартфон

c) b = r, сфера Ω вырождается в точку, рис.3с.

Заключение

Мир геометрии огромен. Каждый, имеющий отношение к геометрии, с необходимостью сориентирован на самообразование и постижению мира геометрии. К миру геометрии относятся и мнимые образы. Мнимые образы выводят на комплексные числа, по поводу чего негодовал великий Я.Штейнер, называя их "иероглифами анализа" не без оснований. Но мнимые образы существуют помимо формул анализа – они суть часть геометрии. Впервые мнимые точки осознал В.Понселе в 1812 г., сидя в русском плену в Саратове и, что важно, совсем без формул анализа. Вычислительная геометрия часто показывает количества, большие числа реальных фигур, потому что учитывает и мнимые образы.

Пример с тором, который изучен вдоль и поперёк, показывает сингулярность – пару двойных точек на оси вращения, которые в зависимости от соотношения параметров тора могут быть действительными, мнимыми или слиться в одну. А дилемма сферический пояс – полная сфера, вообще повод для размышлений. Её разрешение требует подключения живой мысли и здесь только машинной графикой не обойтись.

Список литературы

  1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
  2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.
  3. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями. // Геометрия и графика, Т.3, №2. DOI: 10. 127/12163.
  4. Гирш А. Г. Мнимости в геометрии. // Геометрия и графика, Т.2, №2. DOI: 10. 12737/5583.
  5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. – 213 с.
  6. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. – 216 с.
  7. http://www.anhirsch.de Антон Георгиевич Гирш (Dr. A.Hirsch) – Сайт.

Рисунки к докладу

а) Гипербола h, сопутствующая образующей окружности c. b) Гипербола h заметает поверхность, содержащую узловые точки

Вращение окружности c(r) вокруг оси a. Вывод уравнения

Задание сферы Ω(R) образующей окружностью c(r) и осью вращения a

Вопросы и комментарии к выступлению:

Мария Валентиновна, спасибо, что заглянули на эту страничку. Вопрос неполный — конус общего вида или вращения? Если вращения, то всегда есть такая ось вращения сферы, которая пройдёт через вершину конуса. Через эту точку проходит и проекция ЛПП. А программа, вопрос конечно интересный, зависит от пакета, но если есть идея решения, то напишется и программа.

Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

    Изменение расстояния до оси вращения

При сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центр тора (эта плоскость автоматически получается бикасательной) образуются окружности Вилларсо.

Уравнения

Параметрическое

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

Алгебраическое

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

В частности, тор является поверхностью четвёртого порядка.

Свойства

  • Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена: .

Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Гульдина: .

  • Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами. [1]

  • Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой. [2]

  • Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.

Сечения

  • При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
  • В частности открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
  • Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея[3] (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
  • Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка [4] .
  • История

    Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

    Вариации и обобщения

    • В топологии тор определяется как произведение двух окружностей ; обобщением этого понятия является -мерный тор

    Литература

    • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7

    См. также

    Примечания

    1. Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
    2. Подробности приведены в статьей М. Гарднера в Scientific American за март 1977 Другие парадоксы, связанные с торами можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.
    3. Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие
    4. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения «линии среза» на поверхности комбинированного тела вращения


    Ракитская Мария Валентиновна
    (21 февраля 2016 г. 16:23)

    Здравствуйте, Антон Георгиевич! Спасибо за доклад. Можно задать вопрос? Недавно ко мне обратился студент с такой задачей: Есть сфера, из точки вне сферы на сферу направляется конус (но ось конуса не проходит через центр сферы). Необходимо построить линию пересечения. Графически эту задачу решить легко. Как бы помочь студенту находить решение этой задачи в условиях программирования.

    С уважением к Вам, М.В.


    Гирш Антон Георгиевич
    (25 февраля 2016 г. 14:25)
    Для улучшения этой статьи по математике желательно ? :

    • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое "Тор (поверхность)" в других словарях:

    Тор — Тор: В Викисловаре есть статья «тор» Тор геометрическая фигура, поверхность вращения в форме бублика. Тор в скандинавской мифолог … Википедия

    тор — 1. ТОР, а; м. [от лат. torus вздутие, выпуклость, узел] Матем. Пространственная фигура, имеющая форму баранки или спасательного круга. 2. ТОР, а; м. В скандинавской мифологии: бог грома и молнии, покровитель земледельцев. * * * тор (от лат.… … Энциклопедический словарь

    Поверхность вращения — Поверхность вращения поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится… … Википедия

    Тор (геометрич. тело) — Тор (от лат. torus вздутие, выпуклость, узел, валик), геометрическое тело, образуемое вращением круга вокруг прямой, лежащей в плоскости этого круга, но не пересекающей его (см. рис.). Приблизительно форму Т. имеет, например, баранка (или… … Большая советская энциклопедия

    ТОР (в геометрии) — ТОР (от лат. torus выпуклость), геометрическое тело, образуемое вращением круга вокруг непересекающей его и лежащей в одной с ним плоскости прямой. Приблизительную форму тора имеет спасательный круг, баранка. Поверхность, ограничивающую тор,… … Энциклопедический словарь

    ТОР — (от лат. torus выпуклость) геометрическое тело, образуемое вращением круга вокруг непересекающей его и лежащей в одной с ним плоскости прямой. Приблизительную форму тора имеет спасательный круг, баранка. Поверхность, ограничивающую тор, иногда… … Большой Энциклопедический словарь

    ПОВЕРХНОСТЬ — (1) граница раздела между двумя контактирующими средами, общая часть двух смежных областей пространства (сред); видимая граница, отделяющая геометрическое (физ.) тело от внешнего пространства или др. среды (тела), которая может быть внешней или… … Большая политехническая энциклопедия

    Тор — I один из главных богов скандинавской мифологии, бог грома, бури и плодородия (у древних германцев континента ему соответствовал Донар). Т. главный защитник богов и людей от великанов и страшных чудовищ. Изображался рыжебородым богатырём … Большая советская энциклопедия

    ТОР — (от лат. torus вздутие, выпуклость, узел) геом. тело, образуемое вращением круга вокруг прямой, лежащей в плоскости этого круга, но не пересекающей его. Приблизительно форму Т. имеет, напр., спасат. круг. Если радиус вращающегося круга равен г… … Большой энциклопедический политехнический словарь

    ТОР — (от лат. torus выпуклость), геом. тело, образуемое вращением круга вокруг не пересекающей его и лежащей в одной с ним плоскости прямой. Приблизительно форму Т. имеют спасат. круг, баранка. Поверхность, ограничивающую Т., иногда также наз. Т … Естествознание. Энциклопедический словарь

    Ссылка на основную публикацию
    Удалить программу через консоль
    Операционная система Windows предлагает несколько способов для удаления установленных приложений и программ. Некоторые пользователи даже прибегают к использованию стороннего программного...
    Тормозит wot что делать
    Если лагает World Of Tanks World of Tanks – игровой проект, который рассчитан на большую аудиторию фанатов. Это означает, что...
    Тормозит мобильный интернет мтс
    Результаты поиска Пользование Симптомы При использовании мобильного интернета наблюдаются затруднения в доступе к интернет-ресурсам: слишком медленно происходят загрузка страниц в...
    Удалить раздел жёсткого диска
    Столкнулись с проблемой, что невозможно удалить EFI раздел с жёсткого диска в Windows? Не волнуйтесь данную проблему можно решить довольно...
    Adblock detector