Уравнение прямоугольника на плоскости

Уравнение прямоугольника на плоскости

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b)точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где dдлина диагонали квадрата.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Оно называют общим уравнением. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 < By + C = 0>- параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 < Ax + C = 0>– параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – совпадает с осью Ох

Уравнение прямой на плоскости может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти прямую, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Окончательно получим: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда прямая, проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости, записанное выше, упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом .

Читайте также:  Подойдет ли процессор am3 к материнке am4

Пример. Найти прямую, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнением с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор.

Определение. Каждый ненулевой вектор ( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Пример. Найти прямую с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение.Будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда получим вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое:

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение х – у + 1 = 0. Найти его в виде прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой

Если уравнение прямой на плоскости Ах + Ву + С = 0 умножить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ — p = 0 –

нормальное уравнение. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С 2 .

Решение.Искомое уравнение имеет вид: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4 Copyright © 2004-2020

В курсе алгебры, исходя из уравнения у =/(*), где/(.*) — заданная функция, строили кривую, определяемую этим уравнением, то есть строили график функции у = J[x). Таким образом, шли как бы «от алгебры к геометрии». При изучении метода координат мы выбираем обратный путь: исходя из геометрических свойств некоторых кривых, выводим их уравнение, то есть идем как бы «от геометрии к алгебре». В восьмом классе (по учебнику Л. С. Атанасяна в девятом классе) рассматриваются уравнения окружности и прямой, а в десятом — уравнения плоскости и сферы.

Читайте также:  Как задать размер ячейки таблицы в html

В учебнике А. В. Погорелова дается общее понятие «уравнение фигуры».

Опр. /. Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется уравнение с двумя неизвестными хи у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.

В учебнике Л. С. Атанасяна дастся общее понятие «уравнение линии».

Опр. 2. Уравнение с двумя переменными л: и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Уравнение фигуры на плоскости в общем виде можно записать гак:

  • 1. Уравнение х 2 +у 2 + 1 = 0 определяет на плоскости пустое множество. Неравенство лг 2 +у 2 + 1 1 + у 1 +1 > 0 определяет всю плоскость.
  • 2. Уравнение * 2 +у 2 -1 = 0 определяет на плоскости окружность с центром в начале координат и радиуса г = 1. Неравенство х 2+ у 2 -1 2 +у 2 -1 > 0) определяет на плоскости внутреннюю (внешнюю) область окружности с центром в начале координат и радиуса г — 1.
  • 3. Уравнение х 2 +у 2 = 0 есть точка с координатами (0; 0).
  • 4. Уравнение Ffx) = 0 определяет на плоскости множество прямых, параллельных оси OY. Это множество прямых может оказаться и пустым, гак как данное уравнение может нс иметь действительных решений, например, .v 2 +1 = 0.

В приведенных примерах мы по данному уравнению или неравенству определяли фигуру. Поставим обратную задачу: для данной геометрической фигуры составить уравнение, которое определяло бы эту фигуру.

Рассмотрим, как выводится уравнение окружности радиуса г с центром в точке С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 86). Расстояние от точки М (х; у) до точки С (хо; уо) вычисляется по формуле МС = yj(x-x) 2 +(у-у) 2 .

Читайте также:  От какого напряжения нужно зарядить

Если точка М (х; у) лежит на данной окружности, то МС = г или МС 2 =г 2 , то есть

Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то МС 2 фг 1 , и, значит, координаты точки М нс удовлетворяют уравнению (1).

Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса г с центром в точке С (xq; уо) имеет вид:

В частности, уравнение окружности радиуса г с центром в начале координат имеет вид:

Вывод уравнения прямой проводится по той же схеме, что и уравнение окружности.

Выведем уравнение данной прямой / в заданной прямоугольной системе координат.

Отметим две точки А (х; у) и В (х^, yz) так, чтобы прямая / была серединным перпендикуляром к отрезку АВ (рис. 87).

а) Если точка М лежит на /, то АМ-МВ или AM 2 = ВМ 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению

б) Если же точка М нс лежит на прямой /, то АМ г * ВМ 2 , и, значит, координаты точки М удовлетворяют уравнению (2).

Следовательно, уравнение (2) является уравнением прямой / в заданной системе координат.

После преобразований уравнение (2) принимает вид: ах + Ьу + с = 0.

После вывода уравнения прямой необходимо выяснить ее расположение на плоскости в зависимости от значений, которые могут принимать коэффициенты а, в, с (рис. 88 а-в).

Если а = 0, Ь ф 0, то прямая параллельна оси абсцисс.

Если а ф 0, b = 0, то прямая параллельна оси ординат.

Если с = 0, то прямая проходит через начало координат и лежит в I и III четвертях, если к > 0, и во II и IV четвертях, если к

Ссылка на основную публикацию
Удалить программу через консоль
Операционная система Windows предлагает несколько способов для удаления установленных приложений и программ. Некоторые пользователи даже прибегают к использованию стороннего программного...
Тормозит wot что делать
Если лагает World Of Tanks World of Tanks – игровой проект, который рассчитан на большую аудиторию фанатов. Это означает, что...
Тормозит мобильный интернет мтс
Результаты поиска Пользование Симптомы При использовании мобильного интернета наблюдаются затруднения в доступе к интернет-ресурсам: слишком медленно происходят загрузка страниц в...
Удалить раздел жёсткого диска
Столкнулись с проблемой, что невозможно удалить EFI раздел с жёсткого диска в Windows? Не волнуйтесь данную проблему можно решить довольно...
Adblock detector