Уравнение эллипса в параметрической форме

Уравнение эллипса в параметрической форме

Эллипс – геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний которых до двух данных точек F1F2 имеет одно и то же значение 2a:

точки F1 и F2 – называются фокусами эллипса;

расстояние F1F2 – фокусное расстояние и равно F1F2=2с;

a — большая полуось;

b — малая полуось;

c — фокальный радиус, то есть полу расстояние между фокусами;

p — фокальный параметр;

Rmin – минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

Rmax — максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

где

Длина малой оси эллипса 134 м. Длина большой оси равна 140 м. Найти коэффициент сжатия k и сжатие α этого эллипса

Постройте кривую 4x 2 +9y 2 =36. Найдите фокусы, фокальный параметр и эксцентриситет.

Делим обе части на 36 и получаем каноническое уравнение эллипса

a=3, b=2

c 2 =a 2 -b 2 =3 2 -2 2 =9-4=5

Отсюда находим Фокусы F1(-2,2;0) F2(2,2;0)

Фокальный параметр находим следующим образом

Эксцентриситет эллипса

Пример 3
Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение
Уравнение запишем в виде

a=1, b=5
Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как b>a, а должно быть b c 2 =a 2 − b 2 =5 2 −1 2 =25 − 1=24

Следовательно, фокусы в системе координат (x’;y’) имеют координаты (-4,9;0) и (4,9;0), а в системе (x;y) координаты

Эксцентриситет эллипса равен

Определение. Эллипс — это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением .

Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Чертеж фигуры эллипс

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2*(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении его с горизонтальной осью, r1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

Эксцентриситет фигуры эллипс

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом .

Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М(х 1 , у 1 ) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне его.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей фигуре эллипс верны соотношения :

Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r2 = a + ex . Теорема доказана.

Директрисы фигуры эллипс

С фигурой эллипс связаны две прямые, называемые директрисами . Их уравнения:

x = a / e ; x = — a / e .

Теорема. Для того, чтобы точка лежала на границе фигуры эллипс, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину фигуры эллипс, заданного уравнением :

Читайте также:  Съемный жесткий диск что это такое

• Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

• Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).

• Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение границы фигуры эллипс, если его фокусы F 1 (0; 0), F2 (1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение границы имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2 c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = 1/2

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого искомое уравнение имеет вид: .

Определение 7.1. Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 есть заданная постоянная величина, называют эллипсом.

Определение эллипса дает следующий способ его геометрического построения. Фиксируем на плоскости две точки F1 и F2, а неотрицательную постоянную величину обозначим через 2а. Пусть расстояние между точками F1 и F2 равно 2c. Представим себе, что нерастяжимая нить длиной 2а закреплена в точках F1 и F2, например, при помощи двух иголок. Ясно, что это возможно лишь при а ≥ с. Натянув нить карандашом, начертим линию, которая и будет эллипсом (рис. 7.1).

Итак, описываемое множество не пусто, если а ≥ с. При а = с эллипс представляет собой отрезок с концами F1 и F2, а при с = 0, т.е. если указанные в определении эллипса фиксированные точки совпадают, он является окружностью радиуса а. Отбрасывая эти вырожденные случаи, будем далее предполать, как правило, что а > с > 0.

Фиксированные точки F1 и F2 в определении 7.1 эллипса (см. рис. 7.1) называют фокусами эллипса, расстояние между ними, обозначенное через 2c, — фокальным расстоянием, а отрезки F1M и F2M, соединяющие произвольную точку M на эллипсе с его фокусами, — фокальными радиусами.

Вид эллипса полностью определяется фокальным расстоянием |F1F2| = 2с и параметром a, а его положение на плоскости — парой точек F1 и F2.

Из определения эллипса следует, что он симметричен относительно прямой, проходящей через фокусы F1 и F2, а также относительно прямой, которая делит отрезок F1F2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.2, а). Эти прямые называют осями эллипса. Точка O их пересечения является центром симметрии эллипса, и ее называют центром эллипса, а точки пересечения эллипса с осями симметрии (точки A, B, C и D на рис. 7.2, а) — вершинами эллипса.

Число a называют большой полуосью эллипса, а b = √(a 2 — c 2 ) — его малой полуосью. Нетрудно заметить, что при c > 0 большая полуось a равна расстоянию от центра эллипса до тех его вершин, которые находятся на одной оси с фокусами эллипса (вершины A и B на рис. 7.2, а), а малая полуось b равна расстоянию от центра эллипса до двух других его вершин (вершины C и D на рис. 7.2, а).

Читайте также:  Ошибка speed exe в nfs most wanted

Уравнение эллипса. Рассмотрим на плоскости некоторый эллипс с фокусами в точках F1 и F2, большой осью 2a. Пусть 2c — фокальное расстояние, 2c = |F1F2| 2 + y 2 ) + √((x + c) 2 + y 2 ) = 2a. (7.2)

Это уравнение неудобно, так как в нем присутствуют два квадратных радикала. Поэтому преобразуем его. Перенесем в уравнении (7.2) второй радикал в правую часть и возведем в квадрат:

(x — c) 2 + y 2 = 4a 2 — 4a√((x + c) 2 + y 2 ) + (x + c) 2 + y 2 .

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем

√((x + c) 2 + y 2 ) = a + εx

где ε = c/a. Повторяем операцию возведения в квадрат, чтобы убрать и второй радикал: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 , или, учитывая значение введенного параметра ε, (a 2 — c 2 ) x 2 /a 2 + y 2 = a 2 — c 2 . Так как a 2 — c 2 = b 2 > 0, то

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Уравнению (7.4) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на эллипсе. Но при выводе этого уравнения использовались неэквивалентные преобразования исходного уравнения (7.2) — два возведения в квадрат, убирающие квадратные радикалы. Возведение уравнения в квадрат является эквивалентным преобразованием, если в обеих его частях стоят величины с одинаковым знаком, но мы этого в своих преобразованиях не проверяли.

Мы можем не проверять эквивалентность преобразований, если учтем следующее. Пара точек F1 и F2, |F1F2| = 2c, на плоскости определяет семейство эллипсов с фокусами в этих точках. Каждая точка плоскости, кроме точек отрезка F1F2, принадлежит какому-нибудь эллипсу указанного семейства. При этом никакие два эллипса не пересекаются, так как сумма фокальных радиусов однозначно определяет конкретный эллипс. Итак, описанное семейство эллипсов без пересечений покрывает всю плоскость, кроме точек отрезка F1F2. Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (7.4) с данным значением параметра a. Может ли это множество распределяться между несколькими эллипсами? Часть точек множества принадлежит эллипсу с большой полуосью a. Пусть в этом множестве есть точка, лежащая на эллипсе с большой полуосью а. Тогда координаты этой точки подчиняются уравнению

т.е. уравнения (7.4) и (7.5) имеют общие решения. Однако легко убедиться, что система

при ã ≠ a решений не имеет. Для этого достаточно исключить, например, x из первого уравнения:

что после преобразований приводит к уравнению

не имеющему решений при ã ≠ a, поскольку . Итак, (7.4) есть уравнение эллипса с большой полуосью a > 0 и малой полуосью b =√(a 2 — c 2 ) > 0. Его называют каноническим уравнением эллипса.

Вид эллипса. Рассмотренный выше геометрический способ построения эллипса дает достаточное представление о внешнем виде эллипса. Но вид эллипса можно исследовать и с помощью его канонического уравнения (7.4). Например, можно, считая у ≥ 0, выразить у через x: y = b√( 1 — x 2 /a 2 ), и, исследовав эту функцию, построить ее график. Есть еще один способ построения эллипса. Окружность радиуса a с центром в начале канонической системы координат эллипса (7.4) описывается уравнением x 2 + y 2 = а 2 . Если ее сжать с коэффициентом a/b > 1 вдоль оси ординат, то получится кривая, которая описывается уравнением x 2 + (ya/b) 2 = a 2 , т. е. эллипс.

Читайте также:  Размер системного блока габариты

Замечание 7.1. Если ту же окружность сжать с коэффициентом a/b 2 — a 2 ), ε = 2c/2b = c/b.

При с =0, когда эллипс превращается в окружность, и ε = 0. В остальных случаях 0 2 — с 2 ), а с = εa = 4, то b = √(5 2 — 4 2 ) = 3. Значит каноническое уравнение имеет вид x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Для построения эллипса удобно изобразить прямоугольник с центром в начале канонической системы координат, стороны которого параллельны осям симметрии эллипса и равны его соответствующим осям (рис. 7.4). Этот прямоугольник пересекается с

осями эллипса в его вершинах A(—5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), причем сам эллипс вписан в него. На рис. 7.4 указаны также фокусы F1,2(±4; 0) эллипса.

Геометрические свойства эллипса. Перепишем первое уравнение в (7.6) в виде |F1M| = (а/ε — x)ε. Отметим, что величина а/ε — x при а > с положительна, так как фокус F1 не принадлежит эллипсу. Эта величина представляет собой расстояние до вертикальной прямой d: x = а/ε от точки M(x; у), лежащей левее этой прямой. Уравнение эллипса можно записать в виде

Оно означает, что этот эллипс состоит из тех точек M(x; у) плоскости, для которых отношение длины фокального радиуса F1M к расстоянию до прямой d есть величина постоянная, равная ε (рис. 7.5).

У прямой d есть " двойник " — вертикальная прямая d’, симметричная d относительно центра эллипса, которая задается уравнением x = —а/ε. Относительно d’ эллипс описывается так же, как и относительно d. Обе прямые d и d’ называют директрисами эллипса. Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрии эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстоят от центра эллипса на расстояние а/ε = а 2 /с (см. рис. 7.5).

Расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром эллипса. Этот параметр равен

p = a/ε — c = (a 2 — c 2 )/c = b 2 /c

Эллипс обладает еще одним важным геометрическим свойством: фокальные радиусы F1M и F2M составляют с касательной к эллипсу в точке M равные углы (рис. 7.6).

Это свойство имеет наглядный физический смысл. Если в фокусе F1 расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса F1, сконцентрируются во втором фокусе F2, и наоборот. Исходя из данной интерпретации указанное свойство называют оптическим свойством эллипса.

Ссылка на основную публикацию
Удалить программу через консоль
Операционная система Windows предлагает несколько способов для удаления установленных приложений и программ. Некоторые пользователи даже прибегают к использованию стороннего программного...
Тормозит wot что делать
Если лагает World Of Tanks World of Tanks – игровой проект, который рассчитан на большую аудиторию фанатов. Это означает, что...
Тормозит мобильный интернет мтс
Результаты поиска Пользование Симптомы При использовании мобильного интернета наблюдаются затруднения в доступе к интернет-ресурсам: слишком медленно происходят загрузка страниц в...
Удалить раздел жёсткого диска
Столкнулись с проблемой, что невозможно удалить EFI раздел с жёсткого диска в Windows? Не волнуйтесь данную проблему можно решить довольно...
Adblock detector