Тройной интеграл масса тела

Тройной интеграл масса тела

В этом разделе вы найдете подробные решения, связанные и вычислением и применением тройных интегралов: от непосредственного вычисления (в декартовых, цилиндрических, сферических координатах), до применения к нахождению объемов тел, массы, моментов и т.п. Примеры сгруппированы по темам:

Тройные интегралы: примеры решений

Задача 1. Вычислить тройной интеграл

$$iiint_V x^2yz dx dy dz, quad V: -1 le x le 2, 0le y le 3, 2 le z le 3. $$

Задача 2. Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл

$$iiint_V x^2 dxdydz, quad V: x^2+y^2+z^2=R^2,, zge 0, xgt 0.$$

Задача 3. Переходя к цилиндрическим координатам вычислить интеграл

$$iiint_V x^2 dxdydz, quad V: x^2+y^2=x,, z=x^2+y^2, z=0.$$

Задача 4. Решить тройной интеграл двумя способами (цилидрическая и сферическая замена координат)

Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.

Объемы тел: примеры решений

Задача 5. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями (внутри цилиндра).

Задача 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Задача 7. Вычислить тройным интегрированием объем тела, ограниченного данными поверхностями:

Задача 8. Найти объем тела, ограниченного координатными плоскостями и поверхностью

Задача 9. Найти объем тела, ограниченного поверхностью $x^2+y^2+z^2=2x+3y$.

Моменты, масса тела: примеры решений

Задача 10. Найти статический момент относительно $xOy$ однородного тела, ограниченного поверхностью $$(x^2+y^2+z^2 )^3=frac $$ с плотностью $z=0$ $(z ge 0)$.

Задача 11. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости $xOy$, а ось симметрии совпадает с осью $Oz$, если заданы радиус основания $R$, высота цилиндра $H$ и функция плотности $gamma(
ho)$, где $
ho$ – полярный радиус точки.

Задача 12. Найти массу тела, заданного системой неравенств, если плотность тела в каждой точке задана функцией $mu$.

Задача 13. Найти момент инерции относительно оси Oz тела, ограниченного заданными поверхностями.

Пусть функция u=f(x,y,z) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области T пространства Oxyz. Разобьем область T произвольным образом на n областей V1, V2,…, Vn, которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через объем, а через диаметр i-ойэлементарной области (i=1,…,n), . Составим выражение

, (7)

которое называется интегральной суммой Римана для функции u=f(x,y,z) по области T . Заметим, что выражение (7) зависит от способа разбиения области T на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел выражения (7) при и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области T на элементарные области, ни от способа выбора точек пунктуации, то он называется тройным интегралом от функции u=f(x,y,z) по области T и обозначается

(8)

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область T ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью и с боков прямой цилиндрической поверхностью; проекцией области T на плоскость Oxy является область D (рис. 6). Такую область назовем правильной в направлении оси Oz.

Читайте также:  Микрофон пушка на камеру

Пусть функция u=f(x,y,z) определена и интегрируема в области T и для любых точек существует интеграл

.

Тогда существует интеграл

и справедлива формула

(9)

Аналогичные формулы справедливы и в случае, когда область T правильная в направлении оси Ox или оси Oy .

Теорема (о замене переменных в тройном интеграле). Пусть выполняются следующие условия:

1) функции x=x(u,v,w), y=y(u,v,w) и z=z(u,v,w) таковы, что каждой точке с координатами (x,y,z) из области T соответствует единственная точка с координатами (u,v,w) из области T1 и наоборот;

3) функция u=f(x,y,z) определена и интегрируема в области T .

Тогда справедлива формула:

, (10)

— якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.

Частным случаем криволинейных координат для тройного интеграла являются цилиндрические и сферические координаты.

1) В случае цилиндрических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где и — полярные координаты проекции точки M на координатную плоскость Oxy, z – аппликата точки M (рис.7).

Имеют место формулы:

,

якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен и формула (10) принимает вид:

(11)

2) В случае сферических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где — расстояние от начала координат до точки M, — угол между проекцией радиус-вектора точки M на плоскость Oxy и осью Ox, — угол между радиус-вектором точки M и осью Oz (рис.8).

Имеют место формулы:

,

якобиан перехода от декартовых координат к сферическим равен и формула (10) принимает вид:

(12)

Задание 1. Вычислить интеграл:

,

где T — тетраэдр, ограниченный плоскостями: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

Решение. Изобразим область интегрирования (рис.9).

Область интегрирования ограничена снизу плоскостью z=0, сверху плоскостью z=1-x-y, по бокам плоскостями x=0 и y=0. Проекцией области T на плоскость Oxy является область D — треугольник OAB . По формуле (9) имеем:

.

Записывая двойной интеграл по области D через повторный интеграл, получим:

И, наконец, вычислим полученный повторный интеграл:

.

Задание 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл:

.

Решение.Изобразим область интегрирования (рис.10).

и применим формулу (11). Так как , то

Задание 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл:

.

Решение. Область интегрирования T есть полушар (рис.11).

Найдем пределы изменения сферических координат для области T1:

Следовательно, по формуле (12) имеем:

.

Вычислив полученный тройной интеграл, получим:

.

Приложения кратных интегралов

1. Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь S плоской области (фигуры) D выражается в зависимости от рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:

(13)

— в декартовых координатах,

(14)

— в полярных координатах.

Пусть гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y). Тогда площадь части этой поверхности, проектирующейся в область D плоскости Oxy, равна:

(15)

Пусть область T ограничена снизу плоскостью z=0, сверху – непрерывной поверхностью z=f(x,y) и с боков прямой цилиндрической поверхностью. Если проекцией области T на плоскость Oxy является область D, то объем V области T выражается интегралом

Читайте также:  Температура использования светодиодных ламп

(16)

2. Механические приложения двойных интегралов.

Масса M пластинки, занимающей область D плоскости Oxy , имеющей плотность , равна:

. (17)

Статические моменты Mx и My этойпластинки относительно осей Ox и Oy

(18)

Координаты центра масс и пластинки определяются следующим образом:

. (19)

Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy соответственно равны:

(20)

а момент инерции пластинки относительно начала координат равен:

. (21)

Заметим, что если рассматриваемая пластина однородна, то в приведенных формулах следует положить .

3. Геометрические приложения тройного интеграла

Объем V пространственной области T равен:

(22)

4.Механические приложения тройных интегралов. Масса M тела с плотностью ,занимающего область T, равна

(23)

Статические моменты Mxy, Mxz, Myz тела относительно координатных плоскостей выражаются интегралами:

(24)

Координаты центра масс тела T определяются следующим образом:

. (25)

Моменты инерции тела относительно осей координат соответственно равны:

(26)

.

Заметим, что если рассматриваемое тело однородно, то в приведенных формулах следует положить .

Задание 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

.

Решение. Данное тело ограничено снизу плоскостью z=0, сверху плоскостью y+z=1 и с боков цилиндром (рис.12а).

Проекцией рассматриваемого тела является область D (рис. 12б).

Найдем объем нашего тела двумя способами:

1) с помощью двойного интеграла;

2) с помощью тройного интеграла.

В первом случае воспользуемся формулой (16). В нашем случае f(x,y)=1-y.

.

Вычисляем полученный повторный интеграл:

Теперь найдем значение объема данного тела с помощью тройного интеграла. Для этого воспользуемся формулой (22). Имеем:

.

Вычисляем полученный тройной интеграл:

Задание 2. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями .

Решение. Данное тело изображено на рис.12а. Чтобы найти координаты центра масс рассматриваемого тела, воспользуемся формулами (25).

Найдем сначала массу тела. Для этого применим формулу (23) при , так как наше тело однородное. Имеем:

(это интеграл мы вычисляли в предыдущем примере).

Вычислим теперь статические моменты Mxy, Mxz, Myz рассматриваемого тела относительно координатных плоскостей. Для этого воспользуемся формулами (24) при . Имеем:

,

,

Вычислив полученные тройные интегралы, имеем:

Следовательно, координаты центра масс данного тела равны:

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 11142 — | 8281 — или читать все.

Механические приложения тройного интеграла
  1. Услуги проектирования
  2. Тройной интеграл
  3. Механические приложения тройного интеграла

Пусть $mathbf < extit < V >> $ — тело в пространстве, в котором задано распределение объёмной плотности массы $mu (P)(Pin V,mu (P)=mathop < lim >limits_ < diam(G) o 0 >frac < m(G) > < v(G) >$, где $mathbf < extit < G >> $ — область, содержащая точку $mathbf < extit < Р >> , mathbf < extit < m >> (mathbf < extit < G >> )$ — масса этой области, $mathbf < extit < v >> (mathbf < extit < G >> )$ — её объём > . Вывод следующих формул полностью аналогичен выводу для двумерного случая < раздел $ extbf < Механические приложения двойного интеграла >$ > , поэтому просто перечислим их.

Читайте также:  Http status code 403

Масса тела $m(v)=iiintlimits_V < mu (P)dv >$;

Объем тела (V = largeiiintlimits_G
ormalsize < dxdydz >);

Объем тела в цилиндрических координатах

Объем тела в сферических координатах

(V = largeiiintlimits_ < Sleft( < r, heta ,varphi >
ight) >
ormalsize < < r^2 >sin heta drd heta dvarphi > )

Плотность тела $mu left( < x,y,z >
ight)$;

Координаты центра тяжести $x_c =frac < 1 > < m(V) >iiintlimits_V < xcdot mu (P)dv >$, $y_c =frac < 1 > < m(V) >iiintlimits_V < ycdot mu (P)dv >$, $z_c =frac < 1 > < m(V) >iiintlimits_V < zcdot mu (P)dv >$;

Моменты инерции

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей (x = 0), (y = 0) и (z = 0), с плотностью ( < mu left( < x,y,z >
ight) > )

( < M_ < yz >> = largeiiintlimits_G
ormalsize < xmu left( < x,y,z >
ight)dV > ), ( < M_ < xz >> = largeiiintlimits_G
ormalsize < ymu left( < x,y,z >
ight)dV > ), ( < M_ < xy >> = largeiiintlimits_G
ormalsize < zmu left( < x,y,z >
ight)dV > )

Найти координаты центра тяжести половины шара радиуса $mathbf < extit < R >> $, если плотность пропорциональна расстоянию от центра шара.

Решение:

Если ввести координатную систему так, как показано

на рисунке, то $mu (P)=ksqrt < x^2+y^2+z^2 >= kr$; вычисления ведём, естественно, в сферических координатах:

Найти моменты инерции однородного цилиндра относительно диаметра основания и оси.

Решение:

Если система координат введена так, как показано на рисунке, то мы должны найти $mathbf < extit < I >> _ < x >$ < или $mathbf < extit < I >> _ < y >=mathbf < extit < I >> _ < x >)$ и $mathbf < extit < I >> _ < z >$.

Вычисляем в цилиндрических координатах. $I_x =iiintlimits_V < k(y^2+z^2)dxdydz >=kintlimits_0^ < 2pi > < left( < frac < R^4 > < 4 >Hsin ^2varphi +frac < H^3R^2 > < 6 >>
ight)dvarphi > =frac < pi kHR^4 > < 4 >+frac < pi kH^3R^2 > < 3 >$

Далее:

Равносильные формулы алгебры высказываний

Теорема о предполных классах

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о немонотонной функции

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Теорема о полныx системаx в Pk

Булевы функции от $n$ переменных

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина

Поток векторного поля через поверхность

Теорема Стокса

Вычисление площадей плоских областей

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Огравление $Rightarrow $

Ссылка на основную публикацию
Тормозит wot что делать
Если лагает World Of Tanks World of Tanks – игровой проект, который рассчитан на большую аудиторию фанатов. Это означает, что...
Тест сетевых кабелей для hi fi
Боремся за правильное питание Цена - $1 148 за 2 м Мы уже тестировали силовые кабели LessLoss DFPC Signature и...
Тест экранов для проектора
Когда речь идёт о домашнем кинотеатре с проектором, основное внимание уделяется, разумеется, проектору. Затем обычно речь идёт про источник сигнала,...
Тормозит мобильный интернет мтс
Результаты поиска Пользование Симптомы При использовании мобильного интернета наблюдаются затруднения в доступе к интернет-ресурсам: слишком медленно происходят загрузка страниц в...
Adblock detector