Свойства окружностей касающихся внутренним образом

Свойства окружностей касающихся внутренним образом

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.

Внутреннее касание

Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от точки касания окружностей. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, отметим на радиусе AC точку B, это будет центр второй окружности с радиусом BC:

Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внутренним образом.

При внутреннем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно разности их радиусов.

Внешнее касание

Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, вторая с центром B и радиусом BC:

Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внешним образом.

При внешнем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей называется точкой касания окружностей.

Касание окружностей может быть внешним и внутренним.

Внешнее касание окружностей — это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной.

Внутреннее касание окружностей — касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной.

Касающиеся окружности имеют только одну общую точку — точку касания.

Центры касающихся окружностей и их общая точка касания лежат на одной прямой.

При любом виде касания по свойству касательной касательная перпендикулярна радиусам, проведённым в точку касания:

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку A можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой k.

Следовательно, все три точки: центры окружностей O1, O2 и A лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать .

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

При внутреннем касании расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов:

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Читайте также:  Сколько обрабатывается видео вконтакте

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

1. Определения и основная теорема

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться». И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие. В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

Самая важная теорема гласит, что:

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем (можешь заглянуть в следующие уровни теории), а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.

2. Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги» написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.То есть «градусная мера дуги» — это «сколько градусов в центральном угле» — и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, «продолжаем разговор».

Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Смотри, хорда разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла , а другая дуга – внутри угла .

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что равен ПОЛОВИНЕ угла , равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла .

Читайте также:  Установленная мощность принтера квт

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим. – радиус, – касательная.

Значит , . Поэтому: .Но ( и — радиусы) .

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника равна .

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что .

3. Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке, .

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Вот, убедись: проведём радиусы и и соединим и .

–радиус.
– касательная, значит, .
Ну, и так же .

Получилось два прямоугольных треугольника и , у которых:

  • — равные катеты
  • — общая гипотенуза

(заглядываем в тему "Прямоугольный треугольник", если не помним, когда, бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз то .УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Для любой прямой , пересекающей окружность, , где — отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

4. Общая касательная к двум окружностям

Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.

Общие касательные бывают внешние и внутренние.

Смотри на картинки.

Две внутренние общие касательные.
Две внешние общие касательные.

А всего – четыре — не больше, но может быть меньше.

Есть только две внешние общие касательные.
Или так: одна «внутренняя» и две «внешних».

А может быть вообще так:

только одна общая касательная:
Читайте также:  Spin tires как вернуться в гараж

И снова факты:

  1. Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны
  2. Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.

внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)

5. Касающиеся окружности

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Вот такая картинка называется

«окружности касаются внешним образом».

А вот такая картинка называется

«окружности касаются внутренним образом».

Что же самое главное нужно знать?

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:

Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай!

КАСАТЕЛЬНЫЕ, КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Касательная — прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

  • Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
  • Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла: , где
  • — касательная,
  • — хорда,
  • — угол, внутри которого находится дуга .
  • Отрезки касательных , проведённых из одной точки к одной окружности, равны:
  • Углы, образованные касательными , проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны: .
  • Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках: и .
  • Для любой прямой , пересекающей окружность:
    ,где — отрезок касательной.

Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:

Внешнее касание Внутреннее касание

Для двух окружностей с центрами и , и радиусами и :

  • при внешнем касании: ;
  • при внутреннем касании: .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Ссылка на основную публикацию
Самые лучшие сайты для скачивания музыки бесплатно
Ищете лучшие сайты для скачивания музыки? Тогда вы попали по адресу. Сегодня в интернете музыки не просто много, а очень...
С каким расширением сохраняются файлы в word
Вопросы и ответы в сфере it технологий и настройке ПК Документ Microsoft Word представляет собой файл с расширением doc или...
Сайты похожие на спакес
Самые популярные бесплатные сайты каталога WAP сайты для мобильных Мобик фильмы, игры, музыка http://mobik.ru Сайт мобик.ру это огромная коллекция бесплатных...
Сафари не удается найти сервер
Если на iPhone, iPad или Mac не работает Safari, то не нужно сразу искать альтернативные браузеры. Любую ошибку можно устранить...
Adblock detector