Составить оптимальный план перевозок

Составить оптимальный план перевозок

Страницы работы

Содержание работы

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ № 4

Четыре ЛДК производят материалы для мебельных фабрик. Соответственно на каждую фабрику рассчитано определенное количество сырья. Требуется составить оптимальный план перевозок, то есть указать, сколько груза должен получить потребитель от каждого поставщика. При этом необходимо вывести весь груз из пунктов отправления, удовлетворить все заявки потребителей и обеспечить минимум затрат на перевозку всего груза.

Необходимо построить математическую модель.

Переменными в модели будет являться стоимость перевозки единицы груза потребителю (в руб.) мебельных фабрик В1, В2, В3, В4. Математическая модель задачи линейного программирования включает целевую функцию и ограничения.

Целевая функция обозначается Z и находится по формуле:

Z = E17+D17+C17+B17 min (4)

При решении данной задачи необходимо учесть ограничения на расход исходных продуктов и на спрос.

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 266
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 171
  • БГТУ 602
  • БГУ 153
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 962
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 119
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 497
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 130
  • ИжГТУ 143
  • КемГППК 171
  • КемГУ 507
  • КГМТУ 269
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2909
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 107
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 367
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 330
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 636
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 454
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 212
  • НУК им. Макарова 542
  • НВ 778
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1992
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 301
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 119
  • РАНХиГС 186
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 243
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 122
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 130
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1598
  • СПбГТИ (ТУ) 292
  • СПбГТУРП 235
  • СПбГУ 577
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 193
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 113
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2423
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 324
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 306

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Одна из самых распространенных и востребованных оптимизационных задач в логистике – транспортная задача. В классическом виде она предполагает нахождение оптимального (т.е. сопряженного с минимальными затратами) плана грузоперевозок.

Например, у нас есть сеть розничных магазинов, которым требуется определенное количество товаров. Также имеется ряд складов поставщиков, где требуемые товары хранятся. При этом на каждом складе различный объем запасов этих товаров. Кроме этого нам известны тарифы – затраты на перевозку 1 товара от каждого склада к каждому магазину.

Возникает необходимость разработать такой план перевозок, чтобы магазины получили требуемое количество товаров с наименьшими затратами на транспортировку. Вот именно в таких случаях (и во множестве других) приходится решать транспортную задачу.

Теоретический материал по транспортной задаче

Транспортная задача (задача Монжа — Канторовича) — математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.

Читайте также:  Идем по улице приближаемся к станции

Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления (например, складов) в пункты потребления (например, магазины), с минимальными общими затратами на перевозки.

Математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид:

где: Z — затраты на перевозку грузов;
X — объем груза;
C — стоимость (тариф) перевозки единицы груза;
A — запас поставщика;
B — запрос потребителя;
m — число поставщиков;
n — число потребителей.

Общий план решения транспортной задачи методом потенциалов

Решить транспортную задачу можно различными методами, начиная от симплекс-метода и простого перебора, и заканчивая методом графов. Один из наиболее применяемых и подходящих для большинства случаев методов – итерационное улучшение плана перевозок.

Суть его в следующем: находим некий опорный план и проверяем его на оптимальность (Z → min). Если план оптимален – решение найдено. Если нет – улучшает план столько раз, сколько потребуется, пока не будет найден оптимальный план.

Ниже приведен алгоритм решения транспортной задачи в самом общем виде:

  1. Построение транспортной таблицы.
  2. Проверка задачи на закрытость.
  3. Составление опорного плана.
  4. Проверка опорного плана на вырожденность.
  5. Вычисление потенциалов для плана перевозки.
  6. Проверка опорного плана на оптимальность.
  7. Перераспределение поставок.
  8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5.
  9. Вычисление общих затрат на перевозку груза.
  10. Построение графа перевозок.

Подробная инструкция по решению транспортной задачи

1. Построение транспортной таблицы

Строим таблицу, где указываем запасы материалов, имеющиеся на складах поставщиков (Ai), и потребности заводов (Bj) в этих материалах.

В нижний правый угол ячеек таблицы заносим значение тарифов на перевозку груза (Cij).

2. Проверка задачи на закрытость

Обозначим суммарный запас груза у всех поставщиков символом A, а суммарную потребность в грузе у всех потребителей – символом B.

Транспортная задача называется закрытой, если A = B . Если же A ≠ B , то транспортная задача называется открытой. В случае закрытой задачи от поставщиков будут вывезены все запасы груза, и все заявки потребителей будут удовлетворены. В случае открытой задачи для ее решения придется вводить фиктивных поставщиков или потребителей.

Проверим задачу на закрытость:

A = 10 + 20 + 30 = 60

B = 15 + 20 + 25 = 60

A = B, следовательно данная транспортная задача – закрытая.

3. Составление опорного плана

Составляет предварительный (опорный) план перевозок. Он не обязательно должен быть оптимальный. Это просто своеобразный «черновик», «набросок», улучшая который мы постепенно придем к плану оптимальному.

Есть разные методы нахождения опорного плана. Наиболее распространены следующие:

Суть метода проста — ячейки транспортной таблицы последовательно заполняются максимально возможными объемами перевозок, в направлении сверху вниз и слева направо. То есть сперва заполняется самая верхняя левая ячейка ("северо-западная" ячейка), потом следующая справа и т.д. Затем переходят на новую строку и вновь заполняют ее слева направо. И так пока таблица не будет заполнена полностью.

Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь.

Метод заключается в том, что для заполнения ячеек транспортной таблицы выбирается клетка с минимальным значением тарифа. Затем выбирается следующая клетка с наименьшим тарифом и так продолжается до тех пор, пока таблица не будет заполнена (все запасы и потребности при этом обнулятся).
Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь

Основа метода в нахождении разности (по модулю) между парой минимальных тарифов в каждой строке и столбце. Затем в строке или столбце с наибольшей разностью заполняется клетка с наименьшим тарифом. Затем все эти действия повторяются заново, только при этом уже не учитываются заполненные клетки.
Подробное описание аппроксимации Фогеля и пример можно посмотреть онлайн

4. Проверка опорного плана на вырожденность

Клетки таблицы, в которые записаны отличные от нуля перевозки, называются базисными, а остальные (пустые) — свободными.

План называется вырожденным, если количество базисных клеток в нем меньше, чем m + n -1. Если во время решения задачи получился вырожденный план, то его необходимо пополнить, проставив в недостающем числе клеток нулевую перевозку и превратив, тем самым, эти клетки в базисные (общий баланс и суммарная стоимость перевозок плана при этом не изменятся). Однако проводить пополнение плана, выбирая клетки произвольно, нельзя. План должен быть ациклическим!

План называется ациклическим, если его базисные клетки не содержат циклов. Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией так, чтобы две соседние вершины ломаной были расположены либо в одной строке, либо в одном столбце. Ниже приведен пример цикла:

Читайте также:  Как поставить рингтон на айфон видео

Ломаная линия может иметь точки самопересечения, но не в клетках цикла.

Кол-во базисных клеток = 5

m + n – 1 = 3 + 3 – 1 = 5

Следовательно, первоначальный план перевозок – невырожденный.

5. Вычисление потенциалов для плана перевозки

Для анализа полученных планов и их последующего улучшения удобно ввести дополнительные характеристики пунктов отправления и назначения, называемые потенциалами.

Этот метод улучшения плана перевозок называется методом потенциалов. Есть другие методы итерационного улучшения плана перевозок, но здесь мы их рассматривать не будем.

Итак, сопоставим каждому поставщику Ai и каждому потребителю Bj величины Ui и Vj соответственно так, чтобы для всех базисных клеток плана было выполнено соотношение:

Ui + Vj = Cij

Добавим к транспортной таблице дополнительную строку и столбец для Ui и Vj.

Предположим, что U1 = 0.

Тогда мы сможем найти V3 = C13 – U1 = 1 – 0 = 1.

Зная V3, мы теперь можем найти U3:

По аналогии вычисляем все оставшиеся потенциалы:

6. Проверка плана на оптимальность методом потенциалов

Для каждой свободной клетки плана вычислим разности

ΔCij = Cij – (Ui + Vj )

и запишем полученные значения в левых нижних углах соответствующих ячеек.

План является оптимальным, если все разности ΔCij ≥ 0.

В данном случае план – неоптимальный (ΔC22 7. Перераспределение поставок

Найдем ячейку с наибольшей по абсолютной величине отрицательной разностью ΔCij и построим цикл, в котором кроме этой клетки все остальные являются базисными. Такой цикл всегда существует и единственен.

Отметим ячейку с отрицательной разностью ΔCij знаком «+», следующую знаком «-», и так далее, поочередно.

Затем находим минимальной значение груза в ячейках цикла имеющих знак «-» (здесь это 5) и вписываем его в свободную ячейку со знаком «+». Затем последовательно обходим все ячейки цикла, поочередно вычитая и прибавляя к ним минимальное значение (в соответствии со знаками, которыми эти ячейки помечены: где минус — вычитаем, где плюс — прибавляем).

Получим новый опорный план перевозок:

Так как базисных клеток стало больше, чем m + n – 1, то базисную клетку с нулевым значением делаем свободной:

Снова вычисляем значения потенциалов и разности ΔCij:

На этот раз все разности ΔCij ячеек положительные, следовательно, найдено оптимальное решение.

8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5.

У нас оптимальное решение найдено, поэтому переходим к пункту 9.

9. Вычисление общих затрат на перевозку груза

Вычислим общие затраты на перевозку груза (Z), соответствующие найденному нами оптимальному плану, по формуле:

Zmin = 10 ∙ 1 + 15 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 15 ∙ 1 + 15 ∙ 2 = 110 ден. ед.

Общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения, составляют 110 ден. ед.

10. Построение графа перевозок

Найдя оптимальный план перевозок, построим граф. Вершинами графа будут «склады» и «магазины». В вершинах укажем соответствующие объемы запасов и потребностей. Дугам, соединяющим вершины графа, будут соответствовать ненулевые перевозки. Каждую такую дугу подпишем, указав объем перевозимого груза.

В результате получится граф, аналогичный изображенному ниже:

Все, транспортная задача решена. Поздравляю!

Практическое применение транспортной задачи

Транспортная задача применяется во многих случаях. Это оптимизация поставок сырья и материалов на производственные предприятия. Это оптимизация доставок товаров со складов в розничные магазины. Это оптимизация пассажирских перевозок, и много-многое другое.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.

Пригодилась статья? Поделитесь с друзьями:

Библиографическая запись для цитирования статьи по ГОСТ Р 7.0.5-2008:
Галяутдинов Р.Р. Транспортная задача — решение методом потенциалов // Сайт преподавателя экономики. [2013]. URL: http://galyautdinov.ru/post/transportnaya-zadacha (дата обращения: 11.04.2020).

Нашли опечатку? Помогите сделать статью лучше! Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl+Enter.

ФОРМУЛЫ —> ТЕРМИНЫ —> БУХУЧЕТ —> НАЛОГИ —> СТАТИСТИКА —> БИОГРАФИИ —> ЗАДАЧИ —> ENGLISH —>

ГАЛЯУТДИНОВ
Руслан Рамилевич

старший преподаватель экономических дисциплин (маркетинг, логистика, рынок ценных бумаг). подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ПЕРЕВОЗОК

1. Познакомиться с общей постановкой транспортной задачи.

2. Решить задачу методом северо-западного угла

3. Решить задачу методом потенциалов

4. Дать анализ результатов расчетов

Постановка транспортной задачи

В практике встречаются два типа транспортных задач.

1. Объем производства совпадает с объемом потребления, то есть

Такой тип задач называется закрытыми транспортными задачами.

2. Объем производства не совпадает с объемом потребления, то есть

Такой тип задач называется закрытыми транспортными задачами.

Рассмотрим принцип решения закрытой транспортной задачи (1 тип).

При этом предполагается:

— от каждого поставщика возможна перевозка к любому потребителю;

— стоимость перевозки единицы продукции от поставщика Аi к потребителю Вj известна и составляет Cijденежных единиц. ( В некоторых случаях вместо стоимости перевозки может быть указано расстояние от Аi до Вj .)

Условия задачи могут быть записаны в виде таблицы 1.

Запасы сырья (мощность) Потребители и их спрос В1 В2 . . . Вj . . . Вn b1 b2 . . . bj . . . bn А1 а1 C11 C12 . . . C1j . . . C1n А2 а2 C21 C22 . . . C2j . . . C2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Аi ai Ci1 Ci2 . . . Cij . . . Cin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Аm am Cm1 Cm2 . . . Cmj . . . Cmn

В задаче требуется разработать план перевозок, обеспечивающий с наименьшими транспортными затратами запросы всех потребителей при условии, что предложения и спрос будут сбалансированы.

Пусть объем перевозок из пункта Аi в пункт Вj ( от i– го поставщика к j– му потребителю) будет равен Хij. Тогда целевая функция будет равна

В то же время должны выполняться условия (ограничения):

В равенствах (2) и (3) имеется m+n уравнений с mn неизвестными, причем одно из них есть следствие других в силу того, что

Принимаем условие, что клетки табл. 1. в которых объем перевозок Хij не равен нулю, называть базисными, а в которых Хij=0 – свободными. Элементы таблицы перевозок Cij называть показателями критерия оптимальности, а совокупность CijХijпланом перевозок.

Транспортная задача относится к задачам линейного программирования, ее решение может быть осуществлено различными методами, наиболее распространенными из них являются: метод «северо-западного угла», распределенный метод и метод потенциалов.

Решение транспортной задачи методом потенциалов

Метод потенциалов решения транспортной задачи основан на выборе некоторого исходного варианта прикрепления поставщиков к потребителям и последовательном его преобразовании вплоть до получения оптимального варианта.

Рассмотрим применение метода потенциалов на конкретном производственном примере составления оптимального плана перевозок. Пусть имеется три оптовых базы, которые поставляют сырье для пяти производственных предприятий. Условия задачи представлены в табл.2. Себестоимость перевозки сырья представлена в условных единицах.

Требуется найти такой план перевозок, чтобы общая стоимость транспортных затрат была минимальной.

Руководствуясь здравым смыслом, прикрепим поставщиков к потребителям следующим образом.

В клетках, в которых записаны поставки (базисные клетки), показатели критерия оптимальности обведены кружком, чтобы облегчить ориентацию в таблице. Получившийся план перевозок отвечает одному из условий – вся мощность поставщиков (оптовых баз) полностью распределена, весь спрос потребителей (предприятий) полностью удовлетворен.

Стоимость транспортных работ:

Этот план является допустимым, однако является ли он оптимальным, насколько оправдал себя здравый смысл, утверждать трудно.

При перераспределении поставок составляются цепи, для которых характерны следующие особенности:

1. цепь является замкнутым многоугольником;

2. вершинами цепи являются клетки таблицы, причем одна из вершин –свободная, а все остальные базисные;

3. все углы цепи являются прямыми, каждый отрезок цепи, ограниченный двумя вершинами, принадлежит к одному столбцу или к одной строке таблицы;

4. цепь всегда имеет четное число вершин;

5. отрезки цепи могут проходить через базисные клетки, не являющимися вершинами данной цепи, при этом объемы перевозок в таких клетках не изменяются.

Вершины, в которых поставка при распределении увеличиваются, отмечают плюсом и называют положительными вершинами, а если поставка уменьшается, отмечают минусом и считают отрицательными.

На рисунке 1 представлен пример составления элементарной цепи, где три базисные клетки обозначены кружками, а одна свободная – квадратом. При перераспределении поставок по данной цепи получается следующий результат.

Пусть А2 будет поставлять 1 т сырья в пункт В1 , тогда необходимо уменьшить поставки на 1 т из А1в В1 и из А2 в В2 и увеличить из А1 в В2 , чтобы выполнялось условие равенства запаса сырья в базах и спроса предприятий. Уменьшая или увеличивая поставки, тем самым уменьшаем или увеличиваем значение целевой функции Z. Цепь дает возможность установить, насколько изменится стоимость транспортировки при записи поставки в 1 т , в ту клетку цепи, которая была свободной.

Ссылка на основную публикацию
Совместимость ssd с ноутбуками
Вопрос совместимости Многие пользователи интересуются совместимостью материнской платы и SSD, который они купили или хотят купить. Опыт показывает, что не...
Скрыть не интересуюсь уже купил спам мешает
"Яндекс" запустил опцию "Скрыть объявление" на сайтах входящих в Рекламную сеть Яндекса. Опция позволяет отключить показ рекламных объявлений, которые в...
Слабо работает интернет что делать
Как настроить роутер, как настроить модем, как настроить оптический терминал. Настройка роутера по http://192.168.1.1 или http://192.168.0.1 Что делать если медленно...
Совместимость ремешков apple watch
Здесь приводятся общие инструкции, которые помогут Вам снять, поменять и застегнуть ремешок. В случае смены ремешка убедитесь, что размеры используемого...
Adblock detector