Сопротивление бесконечной цепи резисторов

Сопротивление бесконечной цепи резисторов

Вы здесь

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

1.4. Расчет эквивалентных сопротивлений бесконечных цепей

Особую группу образуют задачи на расчет эквивалентных сопротивлений бесконечных цепей. Как правило, эти цепи симметричны и во многих случаях содержат одинаковые элементы (резисторы). Рассматриваемые задачи можно разбить на три группы: а> линейные (одномерные); б) плоскостные (двумерные); в) объемные (трехмерные). Эвристические приемы решения подобных задач просты и достаточно оригинальны. Причем последние два типа задач решаются только с помощью искусственного приема, содержание которого будет рассмотрено ниже.

1.4.1. Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей

Найдем эквивалентное сопротивление типичной линейной бесконечной цепи резисторов, состоящей из повторяющихся элементов (секций), в типичной задаче.

Задача 15. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение (типовое, алгоритм). Для нахождения эквивалентного сопротивления цепи необходимо выделить общую секцию, которая бесконечно повторяется. Вполне очевидно, что если отделить ее от цепи, то общее сопротивление этой цепи не изменится, т.к. число элементов (секций) бесконечно. В силу вышесказанного, выделив повторяющуюся секцию в цепи и заменив сопротивление, остальной цепи искомым сопротивлением Rх, получим эквивалентную схему (рис.).

Найдем сопротивление цепи, предварительно записав выражение для Rх через Rx. Опуская промежуточные выкладки, получим:

откуда получим ответ:

Рассмотрим еще одну подобную задачу.

Задача 16. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Применим точно такой же прием, но с другой повторяющейся секцией (рис.).

После аналогичных расчетов получим:

Отсюда легко записать ответ:

Можно сформулировать более сложные задачи, решение которых сводится к рассмотренным выше алгоритмам.

Задача 17. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению двух одинаковых и параллельно соединенных резисторов, сопротивления которых равны (см. решения задач 15 и 16): справа

Тогда после простых расчетов легко получить ответ:

Задача 18. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению двух одинаковых и параллельно соединенных резисторов сопротивлением

каждый (см. решение задачи 16). Отсюда легко получить ответ:

Задача 19. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению четырех резисторов, соединенных между собой в цепь, которая изображена на рис.

(см. решения задач 15 и 16). Отсюда искомое эквивалентное сопротивление цепи между точками А и В:

Задача 20. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых проволочных резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Эквивалентная схема представлена на рис.

Повторяющаяся секция состоит из четырех резисторов. Полное сопротивление цепи находим, полагая RAB = Rх. Опуская промежуточные выкладки, получим

откуда следует, что

Второй корень уравнения отрицательный и не имеет смысла. Окончательный результат:

Рассмотрим более трудную задачу, решение которой предполагает предварительное использование метода исключения пассивных элементов цепи.

Задача 21. Найти эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис. а), которая состоит из одинаковых проволочных резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Чтобы найти эквивалентное сопротивление цепи, необходимо сначала выделить общую секцию, которая бесконечно повторяется. Понятно, что если отделить ее от цепи, то общее сопротивление этой цепи не изменится. Выделить повторяющуюся секцию в рассматриваемой цепи можно, но заменить сопротивление остальной части цепи искомым сопротивлением Rх нельзя, т.к. оставшаяся часть имеет четыре соединительных провода. Если посмотрим на каркас слева, то получим изображение цепи в перспективе, приведенное на рисунке б.

Из симметрии этого рисунка видно, что потенциалы точек, обозначенных цифрой 1, одинаковы и равны потенциалам точек, обозначенных цифрой 2. Исключим из рассмотрения пассивные резисторы, соединяющие точки 1 и 2 (рис. в).

Читайте также:  Не срабатывает замок на стиральной машине индезит

Между точками С и D (рис. в) находится фигура, эквивалентное сопротивление которой равно искомому, т.к. цепь бесконечна. Обозначим искомое сопротивление через Rх (рис. г)

и получим (аналогично решению задачи 15)

откуда следует, что

Второй корень уравнения отрицательный и не имеет смысла. Окончательный результат:

При решении задач с плоскостными и объемными цепями используется несколько другой подход.

Вы здесь

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

1.4. Расчет эквивалентных сопротивлений бесконечных цепей

Особую группу образуют задачи на расчет эквивалентных сопротивлений бесконечных цепей. Как правило, эти цепи симметричны и во многих случаях содержат одинаковые элементы (резисторы). Рассматриваемые задачи можно разбить на три группы: а> линейные (одномерные); б) плоскостные (двумерные); в) объемные (трехмерные). Эвристические приемы решения подобных задач просты и достаточно оригинальны. Причем последние два типа задач решаются только с помощью искусственного приема, содержание которого будет рассмотрено ниже.

1.4.1. Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей

Найдем эквивалентное сопротивление типичной линейной бесконечной цепи резисторов, состоящей из повторяющихся элементов (секций), в типичной задаче.

Задача 15. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение (типовое, алгоритм). Для нахождения эквивалентного сопротивления цепи необходимо выделить общую секцию, которая бесконечно повторяется. Вполне очевидно, что если отделить ее от цепи, то общее сопротивление этой цепи не изменится, т.к. число элементов (секций) бесконечно. В силу вышесказанного, выделив повторяющуюся секцию в цепи и заменив сопротивление, остальной цепи искомым сопротивлением Rх, получим эквивалентную схему (рис.).

Найдем сопротивление цепи, предварительно записав выражение для Rх через Rx. Опуская промежуточные выкладки, получим:

откуда получим ответ:

Рассмотрим еще одну подобную задачу.

Задача 16. Найдите эквивалентное сопротивление бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Применим точно такой же прием, но с другой повторяющейся секцией (рис.).

После аналогичных расчетов получим:

Отсюда легко записать ответ:

Можно сформулировать более сложные задачи, решение которых сводится к рассмотренным выше алгоритмам.

Задача 17. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению двух одинаковых и параллельно соединенных резисторов, сопротивления которых равны (см. решения задач 15 и 16): справа

Тогда после простых расчетов легко получить ответ:

Задача 18. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению двух одинаковых и параллельно соединенных резисторов сопротивлением

каждый (см. решение задачи 16). Отсюда легко получить ответ:

Задача 19. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Эквивалентное сопротивление цепи равно сопротивлению четырех резисторов, соединенных между собой в цепь, которая изображена на рис.

(см. решения задач 15 и 16). Отсюда искомое эквивалентное сопротивление цепи между точками А и В:

Задача 20. Найдите эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис.), которая состоит из одинаковых проволочных резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Эквивалентная схема представлена на рис.

Повторяющаяся секция состоит из четырех резисторов. Полное сопротивление цепи находим, полагая RAB = Rх. Опуская промежуточные выкладки, получим

откуда следует, что

Второй корень уравнения отрицательный и не имеет смысла. Окончательный результат:

Рассмотрим более трудную задачу, решение которой предполагает предварительное использование метода исключения пассивных элементов цепи.

Задача 21. Найти эквивалентное сопротивление между точками А и В бесконечной цепочки (рис. а), которая состоит из одинаковых проволочных резисторов сопротивлением R каждый.

Решение. Чтобы найти эквивалентное сопротивление цепи, необходимо сначала выделить общую секцию, которая бесконечно повторяется. Понятно, что если отделить ее от цепи, то общее сопротивление этой цепи не изменится. Выделить повторяющуюся секцию в рассматриваемой цепи можно, но заменить сопротивление остальной части цепи искомым сопротивлением Rх нельзя, т.к. оставшаяся часть имеет четыре соединительных провода. Если посмотрим на каркас слева, то получим изображение цепи в перспективе, приведенное на рисунке б.

Читайте также:  Установить видео проигрыватель на компьютер бесплатно

Из симметрии этого рисунка видно, что потенциалы точек, обозначенных цифрой 1, одинаковы и равны потенциалам точек, обозначенных цифрой 2. Исключим из рассмотрения пассивные резисторы, соединяющие точки 1 и 2 (рис. в).

Между точками С и D (рис. в) находится фигура, эквивалентное сопротивление которой равно искомому, т.к. цепь бесконечна. Обозначим искомое сопротивление через Rх (рис. г)

и получим (аналогично решению задачи 15)

откуда следует, что

Второй корень уравнения отрицательный и не имеет смысла. Окончательный результат:

При решении задач с плоскостными и объемными цепями используется несколько другой подход.

Если в схеме есть проводник, по которому не течет ток, то данный проводник можно удалить из этой схемы. Распределение оставшихся токов (а, следовательно, и сопротивление всей схемы), не изменятся.

2) Если в схеме есть две точки, при мысленном соединении которых проводником, ток через этот проводник не потечет, то эти точки можно соединить в одну («слить»). Распределение всех других токов в цепи не изменится.

В общем случае, найти такие проводники и точки сложно. Их может вообще не быть в схеме. Однако, если схема обладает симметрией, то этот поиск можно проводить по определенным правилам. Вообще, слово симметрия в физике, как и в математике, играет очень важную роль. Оно означает, что существует некий объект (например, электрическая схема) и некоторое его преобразование (поворот, зеркальное отражение..), которое сохраняет его вид, то есть, переводит его самого в себя. Если для нашей схемы мы нашли такое преобразование, то можем воспользоваться следующим правилом:

Если поменять полярность подключения источника (то есть, поменять «+» и «-» источника местами), то все токи в цепи сменят направление на противоположное, сохранив свои значения.Это станет довольно очевидным, если сообразить, что, изменив полярность источника, мы, фактически, мысленно изменили знак носителей электричества. А это означает, что их движение соответствует движению исходных носителей, только в другую сторону. То есть, ток при такой процедуре просто поменял направление, сохранив свою величину.

Тогда можно сделать следующий вывод.

1) Если наше преобразование симметрии переводит схему саму в себя, причем полярность подключения источника при этом сохраняется, то, обнаружив в схеме резисторы, ток через которые изменил направление на противоположное, можно смело утверждать, что ток через них не течет!

2) Если наше преобразование симметрии переводит схему саму в себя, причем полярность подключения источника при этом меняется на противоположную, то обнаружив в схеме резисторы, ток через которые не изменил направление, можно смело утверждать, что ток через них не течет!

Во всем этом разобраться довольно сложно, поэтому приведем несколько примеров

Пример № 1. Рассмотрим мостовую схему следующего вида

Видно, что схема переходит сама в себя при повороте на 180 0 вокруг вертикальной оси. При этом токи, текущие через горизонтальные резисторы изменили свое направление на противоположное. Так и должно быть, ведь полярность подключения источника при нашем повороте изменилась на противоположную. А ток через резистор r не изменил своего направления! Значит, он равен нулю, и резистор r можно убрать из схемы, не изменив ее сопротивления и токи через горизонтальные резисторы. Дальше без труда рассчитываем сопротивление четырех резисторов. Оно равно 4R/3.

Пример № 2. Рассмотрим мостовую схему, изображенную на самом первом рисунке, при условии, что все сопротивления равны R. Видно, что у этой схемы есть еще одно преобразование симметрии — поворот на 180 0 вокруг горизонтальной оси. При этом она переходит сама в себя, причем полярность подключения источника сохраняется. После такого поворота мы заметим, что токи через горизонтальные резисторы сохранили свою величину и направление (как и должно быть, ведь на изменилась ни схема, ни подключение источника), а ток через вертикальный резистор «перевернулся». Но он тоже должен сохранить свое направление! Значит, он равен нулю. Убираем его, и вычисляем полное сопротивление цепи, равное R. Замечу, что цепь из первого примера не обладает этой симметрией, так как не переходит в себя при повороте вокруг горизонтальной оси.

Читайте также:  Запуск fifa 16 без origin

Пример № 3. Рассмотрим двенадцать резисторов R, спаянных в виде ребер куба. Присоединим контакты источника к концам любого резистора (на рисунке – к нижнему ребру). Найдем сопротивление цепи в этом случае.

Обратим внимание на две пары точек А1А2 и В1В2. Видно, что они лежат симметрично относительно плоскости π, которая является плоскостью симметрии как цепи, так и подключения полюсов источника тока. Если бы между точками А1А2 (или В1В2) были бы подключены произвольные резисторы (они нарисованы), ток через них не протекал бы (доказательство как в примере 2). А значит пару точек А1А2 можно соединить в единую точку А (то же самое с точкой В). Тогда соединение проводников становится последовательно-параллельным и равно 7R/12. Вычислите его сами.

Преобразование «треугольник-звезда»

Одним из способов структурного преобразования электрической цепи является правило «треугольник-звезда», которое заключается в том, что соединение трех узлов резисторами R1R2R3 в виде треугольника (рис. 1) можно заменить соединением этих же узлов звездой (рис. 2). Конечно, в звезде будут уже другие сопротивления r1r2r3, отличающиеся от R1R2R3. Однако, если подобрать r1r2r3 так, чтобы между каждой парой узлов было то же полное сопротивление, что и в треугольнике, то внешняя цепь «не заметит разницы» в том, что происходит внутри этих трех узлов, а поэтому все внешние к этим узлам токи не изменятся.

Рассмотрим пару узлов 12. Между ними в треугольнике включено сопротивление R1 и параллельно с ним два последовательных R2R3. Полное сопротивление между 12 в треугольнике равно , в звезде оно равно r1+r2. Составляем уравнение

, аналогично для двух других пар узлов

и решая эти три уравнения, можно легко получить выражения для r1r2r3, и несколько сложнее для R1R2R3.

Эти формулы сильно упрощаются, если какие-то сопротивления равны друг другу. Например, R1=R2=R, R3=R. Тогда

из первых двух уравнений видно, что r1=r3. Поэтому

Применим эти формулы к несимметричному мосту вида

Видно, как треугольник трех левых резисторов преобразуется в звезду, причем

и Последняя схема представляет собой последовательно-параллельное соединение проводников.

Помимо реально существующих физических объектов и их моделей, иногда рассматриваются модели объектов, которые в реальности не могут существовать. Однако, математический анализ таких моделей может быть полезен. Примером служат бесконечные цепочки резисторов, спаянные из одинаковых звеньев.

Видно, что данная цепочка обладает специфической симметрией. Добавление к ней еще одного элементарного звена (то есть, минимальной повторяющейся части, обозначенной на рисунке пунктиром), не меняет сам объект. Ни одна реальная цепь не может обладать таким свойством. Добавление чего-то всегда ее изменяет. Однако, легко заметить, что несмотря на бесконечное число элементов, полное сопротивление этой цепи будет конечным, а точнее, не превышающим величину R1+R2+R3. Поскольку с R2 запараллелено еще одно сопротивление, что делает полное сопротивление этой части меньше R2. Кроме того, искомое сопротивление больше R1+R3, понятно по каким причинам. Метод вычисления искомого сопротивления R ясен из правого рисунка. Добавление еще одного элементарного звена должно давать в итоге то же сопротивление R. . Решая это уравнение относительно неизвестного R, получим тогда . Видно, что данное выражение больше, чем , именно поэтому был взят знак + в корне. Чуть сложнее доказать, что это выражение меньше R1+R2+R3. Сделайте это самостоятельно.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8752 — | 7558 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Совместимость ssd с ноутбуками
Вопрос совместимости Многие пользователи интересуются совместимостью материнской платы и SSD, который они купили или хотят купить. Опыт показывает, что не...
Скрыть не интересуюсь уже купил спам мешает
"Яндекс" запустил опцию "Скрыть объявление" на сайтах входящих в Рекламную сеть Яндекса. Опция позволяет отключить показ рекламных объявлений, которые в...
Слабо работает интернет что делать
Как настроить роутер, как настроить модем, как настроить оптический терминал. Настройка роутера по http://192.168.1.1 или http://192.168.0.1 Что делать если медленно...
Совместимость ремешков apple watch
Здесь приводятся общие инструкции, которые помогут Вам снять, поменять и застегнуть ремешок. В случае смены ремешка убедитесь, что размеры используемого...
Adblock detector