Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно

Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно

Если , то , т.к., .

8) Свойство коллинеарных векторов.

Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Если и — коллинеарны, то , аналогично, в пространстве: если и — коллинеарны, то .

9) Свойство компланарных векторов.

На свойстве 4 смешанного произведения и формуле (3) основано

условие компланарности трех векторов: Если — компланарные, то

иначе, если , то говорят, что данные векторы линейно независимы и образуют базис.

«Линейное пространство. Базис и ранг системы векторов»

Рассмотрим множество Е произвольной природы с элементами x, y. z.Пусть на множестве Е введены операции сложения и умножения на скаляр, т. е., для любых x, y Е определено x+y Е и для любых x E и определено x. И эти операции на Е имеют свойства: х+у=у+х, (х+у)+z=х+(у+z), , (х+у)= х+ у; , где R.

А также существует нулевой элемент 0 Е, такой, что х+0=0+х=х.

И для любого х Е существует противоположный ему элемент z E, такой, что х+z=z+x=0.

И существует единичный элемент I R, такой, что для любого х Е х×I=I×x=x.

Если для множества Е выполняются все вышеперечисленные условия, то множество Е называют линейным пространством.

Нетрудно увидеть, что множество векторов как раз и имеет указанные свойства. Потому элементы линейного пространства Е будем называть векторами:

А само пространство будем называть векторным.

Пусть заданы n векторов Заданное множество векторов называют системой векторов. Вектор называют линейной комбинацией векторов если при любых числах имеет место равенство

Линейную комбинацию, все коэффициенты которой равны нулю, принято называть тривиальной. Иначе, линейная комбинация называется нетривиальной.

Система из n 2 векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, иначе, система векторов называется линейно независимой.

Рангом системы называется максимальное число векторов, образующих линейно независимую систему.

Теорема 1.Система из n 2 векторов линейно зависима тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Теорема 2. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Теорема 3. Система векторов ранга r, содержащая более r векторов, линейно зависима.

Теорема 4. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Систему компланарных векторов, среди которых хотя бы два не являются коллинеарными, будем называть системой векторов на плоскости, а систему векторов, среди которых хотя бы одна тройка не является компланарной, — системой векторов в пространстве.

Из рассмотренных выше теорем следует:

1) ранг системы векторов на плоскости равен двум;

2) ранг системы векторов в пространстве равен трем.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Урок-лекция по решению ключевых задач по теме «Скалярное произведение векторов» в 9 классе.

Тема урока: Скалярное произведение векторов.

Тип урока: Урок-лекция по решению ключевых задач.

Метод проблемного изложения.

Учебная задача: Выделить совместно с учениками три вида ключевых задач:

На нахождение длины отрезка;

На нахождение величины угла;

На доказательство перпендикулярности прямых и отрезков,

выделить обобщенные методы решения задач.

По окончанию урока ученик знает:

как выражать длину вектора через его скалярный квадрат;

как выразить величину угла между ненулевыми векторами через их скалярное произведение;

ученик знает о существовании трёх видов метрических задач(на нахождение длины отрезка; на нахождение величины угла; на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков) и обобщенные методы их решения.

Читайте также:  Телепрограмма на яндексе на неделю

переводить геометрические термины на язык векторов и наоборот (осуществлять переход от соотношений между фигурами к соотношениям между векторами и наоборот);

выполнять операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, скалярное произведение);

представить векторы в виде суммы или разности векторов.

Средство обучения: таблица – канва.

Мотивационно – ориентировочная часть.

В начале урока ученикам раздаётся таблица – канва (таблица 1).

— Найдите угол между векторами a и b .

— Отметим произвольную точку на плоскости и откладываем от неё лучи, параллельные двум векторам.

— Чему равен угол между векторами a и b ?

— Угол между ними равен нулю.

— Чему равен угол между векторами a и c ?

— Угол между ними равен 180 градусам.

— В каком случае угол между векторами равен 90 градусам?

— Угол между векторами равен 90 градусам, если векторы перпендикулярны.

— Что называется скалярным произведением векторов?

— Скалярным произведение двух ненулевых векторов, называется произведение их длин на косинус угла между ними, если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное произведение векторов равно нулю.

Запишите определение в символьной форме.

1) a · b =| a | ·| b | · cos( a ^ b )

2) a =0 или b=0, то a · b.

— Если векторы перпендикулярны, то чему равно их скалярное произведение?

— Скалярное произведение равно нулю.

— Чему равно скалярное произведение векторов, если угол между ними равен нулю?

— Скалярное произведение равно произведению их длин, т.е.

а · b = | a | ·| b |, a ^ b = 0.

— Чему равен скалярный квадрат вектора а ?

— Скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины.

— Известны координаты векторов. Сформулируйте теорему о скалярном произведении в координатах.

— Скалярное произведение векторов а < x 1; y 1>и b < x 2; y 2>выражается формулой a · b = x 1 · x 2+ y 1 · y 2.

— Если векторы перпендикулярны, то чему равно их скалярное произведение в координатах?

— Ненулевые векторы а < x 1; y 1>и b < x 2; y 2>перпендикулярны тогда и только тогда, когда x 1 · x 2+ y 1 · y 2=0.

Как найти косинус угла между ненулевыми векторами?

— Давайте вспомним свойства скалярного произведения.

— 1. a ² ≥ 0, причем а² > 0 при а ≠ 0.

2. a · b = b · a (переместительный закон).

3. ( a + b ) · c = a · c + b · c (распределительный закон).

4. ( k · a ) · b = k ·( a · b ) (сочетательный закон).

Тем самым заполнили таблицу-канву (таблица 2).

— После изучения новой темы мы решали задачи по данной теме. На прошлом уроке мы решали задачи на усвоение определений и формул. На сегодняшнем уроке мы рассмотрим ключевые задачи по данной теме. Какими задачами мы закончили изучение темы «Векторы» в 8 классе?

— Какие виды аффинных задач вы знаете?

— 1.Доказательство параллельности прямых и отрезков;

2.Доказательство деления отрезка в данном отношении;

3.Доказательство принадлежности трех точек одной прямой.

— С помощью каких действий над векторами, мы решаем аффинные задачи?

— Сложение, вычитание и умножение на число.

— Выделяют ещё одну группу задач, решаемых векторным методом — это метрические задачи. Какое новое действие вы изучили над векторами?

— Скалярное произведение векторов.

— Давайте вернемся к таблице — канва и посмотрим, какие виды метрических задач мы можем с вами выделить.

Ученики могут сказать, что можно найти длину вектора, величину угла и доказать перпендикулярность векторов.

Классификация задач, решаемых векторным методом.

— доказательство параллельности прямых и отрезков;

— доказательство деления отрезка в данном отношении;

— доказательство принадлежности трёх точек одной прямой.

Читайте также:  Драйвера intel core i5 3210m

— нахождение длины отрезка;

— вычисление величины угла;

— доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.

— По-видимому, существуют три типа метрических задач. Целью нашего урока является выделить три ключевые задачи:

нахождение длины угла;

вычисление величины угла;

доказательство перпендикулярности прямых и отрезков,

и выделение обобщенных методов решения задач.

— Рассмотрим первый тип метрических задач на нахождение длины отрезка.

Ученики читают формулировку задачи, которая выписана на доске: Вычислить длину медианы CD треугольника ABC , если AC =1, BC =2, угол C равен 120 градусам.

— Выделим условия задачи и сделаем рисунок.

— Давайте введем в рассмотрение основные векторы. Какие векторы нам лучше всего рассмотреть при решении данной задачи?

— Выбираем векторы CA и CB .

— Так как известны их длины и угол между ними.

— Какими являются векторы CA и CB ?

— Сонаправленными и неколлинеарными.

— Почему берём неколлинеарные векторы?

— Так как можно через них выразить другие векторы.

— Длину какого вектора нам надо найти?

— Как можно его выразить через другие векторы?

— Основываясь на известный факт, что если точка D является серединой отрезка AB , а точка C – произвольной точкой плоскости, значит вектор CD =1/2( CA + CB ).

— Как можно найти длину вектора CD ?

— Мы знаем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Надо найти скалярный квадрат CD .

С D ² =1/4( CA + CB )² =1/4( CA ²+2 CA · CB + CB ²)

— Подставим в это равенство числовые данные и заметим, что CA · CB – это скалярное произведение векторов.

| CD |²=1/4(1²+2·1·2· cos 120+2²)=1/4(1+4· cos (90+30)+4)=1/4- sin 30+1=1/4-1/2+1=3/4

-Для нахождения длины, вычислим квадратный корень из скалярного квадрата.

Запись на доске:

1 С A , CB – неколлинеарные векторы, С A ≠0, CB ≠0

3 С D² =1/4(CA+CB)² =1/4(CA²+2CA·CB+CB²)

— Давайте выделим этапы решения задачи.

Учитель совместно с учениками выделяет этапы решения данной задачи ( слева на доске напротив каждого действия появляются цифры)

— Давайте выделим общие этапы решения задач на нахождение длины отрезка.

Выбрать два неколлинеарных вектора, у которых известны длины и величина угла между ними;

Разложить по ним вектор, длина которого вычисляется;

Найти скалярный квадрат этого вектора, используя формулу а =|а|

Вычислить квадратный корень из скалярного квадрата.

— Итак, мы выделили обобщенный прием, который применяется к решению задач на нахождение длины отрезка. Теперь рассмотрим второй тип метрических задач на вычисление величины угла.

Формулировка задачи выписана на доске:

Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Формулировку читает ученик.

— Выделим условия задачи и сделаем рисунок.

— Рассмотрим треугольник ABC , он равнобедренный, AA 1 и BB 1 медианы, проведенные к боковым сторонам. Для решения данной задачи введем векторы. Пусть вектор CA 1 равен вектору a , а вектор CB равен b .

— Что следует из того, что AA 1 и CB 1 медианы?

— Выразим векторы, содержащие медианы через известные неколлинеарные векторы.

— Чему равно CA 1?

— Так как BB 1 медиана, то С A =2 b .

— Следовательно, чему равно AA 1?

— Аналогично выразите вектор BB 1.

Дети смогут это сделать сами. BB 1= CB 1- CB = b -2 a .

— Найдите произведение векторов AA 1 и BB 1.

— Что известно из условия задачи о AA 1 и BB 1?

— AA 1 перпендикулярно BB 1, а значит AA 1 перпендикулярно BB 1.

Читайте также:  Можно ли чистить компьютер пылесосом

— Чему равно скалярное произведение таких векторов?

— Вернёмся к равенству (1). В этом равенстве мы видим, что a · b – это скалярное произведение. Вычислим его.

— a · b =| a |·| b |· cosC , а т.к. | a |=| b |= a , тогда a · b = a ²· cosC .

— Теперь рассмотрим скалярное произведение a · a и b · b .

— a · a = a ², b · b = a ².

— Какой тогда вид примет равенство (1)?

— С одной стороны произведение векторов AA 1· BB 1=0, а с другой – 5 a ²· cosC -4 a ².Приравняем их: 5 a ²· cosC -4 a ²=0.

— Что требуется найти в задаче?

— Угол, лежащий против основания, т.е. угол С.

cosC =4 a ²/5 a ²=4/5 → C =36 52

Запись на доске:

1 CA 1, CB 1 – неколлинеарные векторы, CA 1≠0, CB 1≠0.

С A 1= a , CB 1= b

AA 1, BB 1 – неколлинеарные векторы.

cosC =4 a ²/5 a ²=4/5

— Давайте выделим этапы решения задачи.

Учитель совместно с учениками выделяет этапы решения данной задачи ( слева на доске напротив каждого действия появляются цифры)

— Как и в предыдущей задаче выделим общие этапы решения задач.

Выбрать векторы, задающие искомый угол, разложить их по базисным векторам;

Выбрать два неколлинеарных вектора, у которых известны отношение длин и величина угла между ними;

Вычислить угол, используя определение скалярного произведения.

cos ( a ^ b )= a · b /(| a |·| b |)

— Мы выделили обобщенный прием, который применяется при решении задач на нахождение величины угла. Теперь рассмотрим последний тип метрических задач на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.

Формулировка задачи выписана на доске:

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Формулировку читает ученик.

— По аналогии с предыдущими задачами введём векторы.

— Из какого условия следует перпендикулярность векторов?

— Из то, что скалярное произведение равно нулю.

— С чего мы начинаем доказательство?

— Нам необходимо выразить данные векторы через известные неколлинеарные векторы.

— Найдем скалярное произведение данных векторов.

Так как | BC |=| BA |, то получим BD · AC =0.

— Мы доказали, что скалярное произведение векторов равно нулю. Какой вывод отсюда можно сделать?

— Векторы BD и AC перпендикулярны.

Записи на доске:

1 BA , BC – неколлинеарные векторы, BA ≠0, BC ≠0.

AC=BC-BA

3 BD·AC=BC²-BA²

|BD|=|BA| BD·AC=0 BD┴AC BD┴AC.

— Давайте выделим этапы решения задачи.

Учитель совместно с учениками выделяет этапы решения данной задачи ( слева на доске напротив каждого действия появляются цифры)

— Выделим общий метод решения задач на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.

Выбрать два неколлинеарных вектора, у которых известны отношение длины;

Разложить по ним векторы, длина которых вычисляется;

Найти скалярное произведение векторов и убедиться, что оно равно нулю.

— Этот метод является общим методом решения задач на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.

Рефлексивно – оценочная часть.

— Итак, на сегодняшнем уроке мы рассмотрели метрические задачи. В них можно выделить три типа задач:

на нахождение длины отрезка;

на нахождение величины угла;

на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.

— Данные задачи являются ключевыми. Мы выдели обобщенные способы решения данных задач, которые будут использоваться при решении других задач.

— Запишите домашнее задание:

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если его диагонали взаимно перпендикулярны.

Вычислите длину медианы треугольника ABC , проведенной из вершины С, если BC = a , CA = b и угол С равен γ.

Ссылка на основную публикацию
Сетевой город 71 щекино школа 12
Запрошенная Вами страница не найдена. Возможно, Вы перешли по устаревшей ссылке или неверно ввели адрес. 2019 Электронное образование Министерство по...
Самый лучший музыкальный центр по звуку
На первый взгляд, сегодня мало кому в голову придет купить музыкальный центр себе домой, когда прослушивать музыку можно, просто подключив...
Самый лучший плеер для виндовс 7
Чтобы просмотр фильмов или прослушивание музыки за компьютером было действительно комфортным, необходимо скачать по-настоящему качественный проигрыватель. Ниже представлена подборка из...
Сетевой драйвер для ноутбука асер
Драйвера для ноутбуков и нетбуков Acer Поддерживаемые операционные системы: Windows 7 Для начала загрузки данного файла, найдите под пунктом номер...
Adblock detector