Погрешность аппроксимации и погрешность метода

Погрешность аппроксимации и погрешность метода

Для вычисления погрешности аппроксимации следует найти величину среднеквадратичного отклонения по формуле (3.11).

где Уi- значение некоторой физической величины f(x) в точке Хi, полученное в результате измерений в процессе опыта или в результате численного решения какой либо задачи, а F(Хi)- значение аппроксимирующей функции в соответствующей точке xi. Значение F(Хi)-Уi показывает величину отклонения аппроксимирующей от аппроксимируемой функции в узлах Хi. Возводя в квадрат эти отклонения (чтобы исключить знак отклонения), и суммируя их по всем значениям Хi, получаем сумму квадратов отклонений. Усреднив эту сумму по множеству значений n+1 и извлекая, квадратный корень, находим тем самым величину, которая показывает, насколько в среднем аппроксимирующая функция отклоняется от исходной функции.

Все необходимые вычисления удобно представить в виде таблицы 3.3.

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 0,7
  • 0,8
  • 0,9
  • 1.0
  • 1,1
  • 1,2
  • 1,3
  • 1,4
  • 1,5
  • -2,1
  • -2,0740004
  • -2,0525532
  • -2,0367259
  • -2,027621
  • -2,0263715
  • -2,0341336
  • -2,0520773
  • -2,0813721
  • -2,1031608
  • -2,072444
  • -2,0496107
  • -2,0346609
  • -2,0275946
  • -2,0284117
  • -2,0371123
  • -2,0536964
  • -2,078164
  • -0,0031608
  • 0,0015563
  • 0,0029424
  • 0,002065
  • 0,0000264
  • -0,0020402
  • -0,0029787
  • -0,0016191
  • 0,0032081
  • 0,000999
  • 0,0000024
  • 0,0000086
  • 0,0000042
  • 0,0000006
  • 0,0000041
  • 0,0000088
  • 0,0000026
  • 0,0000102

Таким образом, погрешность аппроксимации в данном случае равна

д= *0,0000512 = 0,0022646

По значениям таблицы 3.3 построен график аппроксимирующей функции (рис.3.2).

Рисунок 3.2 График решения квадратичной аппроксимации

На рисунке 3.3. показан график решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции в одних осях координат.

Рисунок 3.3 График решения дифференциального уравнения, интерполяционного многочлена и аппроксимирующей функции

5. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ АПРОКСИМАЦИИ.

Для вычисления погрешности аппроксимации вычислим величину среднеквадратичного отклонения:

Здесь yi — значения решения дифференциального уравнения, полученные в п.1.2. (см. Таблицу 1), F(xi) — значения аппроксимирующей функции при тех же значениях xi, полученные в п. 4. Их разность показывает величину отклонения аппроксимирующей функции от аппроксимируемой в узлах xi.

Рассчитаем погрешность аппроксимации:

2 = 3.46779 * 10 — 4

1 = F( x1 ) — y1 = 2.095734 — 2.09763 = — 0.001896

1 2 = 3.59482 *10 — 6

2 = F( x2 ) — y2 = 2.092711 — 2.105547 = — 0.012836

2 2 = 1.64763 * 10 — 4

Читайте также:  Функция overdrive в мониторе

3 = F( x3 ) — y3 = 2.109553 — 2.125049 = — 0.015496

3 2 = 2.40126 * 10 — 4

4 = F( x4 ) — y4 = 2.14626 — 2.157721 = — 0.011461

4 2 = 1.31355 * 10 — 4

5 = F( x5 ) — y5 = 2.202831 — 2.205613 = — 0.002782

5 2 = 7.73953 * 10 — 6

6 = F( x6 ) — y6 = 2.279266 — 2.271475 = 0.007791

6 2 = 6.06997 * 10 — 5

7 = F( x7 ) — y7 = 2.375567 — 2.359045 = 0.06522

7 2 = 2.72977 * 10 — 4

8 = F( x8 ) — y8 = 2.491732 — 2.473328 = 0.08404

8 2 = 3.38707 * 10 — 4

9 = F( x9 ) — y9 = 2.627762 — 2.620626 = 0.007136

9 2 = 5.09225 * 10 — 5

10 = F( x10 ) — y10 = 2.783656 — 2.807662 = — 0.024006

10 2 = 5.76288 * 10 -4

d = Ö 0.0021939515 = Ö 1.9945013 * 10 — 4 = 0.014122681 1.412268 * 10 — 2

Данные расчётов снесены в Таблицу 2.

Таблица 2. Расчёт погрешности аппроксимации.

0.7 2.1 2.118622 0.018622 1 0.8 2.09763 2.095734 — 0.001896 2 0.9 2.105547 2.092711 — 0.012836 3 1.0 2.125049 2.109553 — 0.015496 4 1.1 2.157721 2.14626 — 0.011461 5 1.2 2.205613 2.202831 — 0.002782 6 1.3 2.271475 2.279266 0.007791 7 1.4 2.359045 2.375567 0.06522 8 1.5 2.473328 2.491732 0.08404 9 1.6 2.620626 2.627762 0.007136 10 1.7 2.807662 2.783656 — 0.024006

График погрешности аппроксимации представлен на рисунке 4.

функции представлен на рисунке 5.

6. ПОСТРОЕНИЕ БЛОК-СХЕМЫ И РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ АППРОКСИМАЦИИ

Блок-схема алгоритма решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов представлена на Рис. 6.

Первым шагом осуществляется ввод значений X(I),Y(I),N.

Далее обнуляются значения всех коэффициентов. В цикле рассчитываются коэффициенты 3-х линейных уравнений. (см. п. 2.2). После цикла приравниваем одинаковые коэффициенты в матрице. Потом выполняется подпрограмма решения линейных уравнений.

Следующим шагом происходит описание функции пользователя:

FNY(X) = K(1) X 2 + K(2) X + K(3)

Следующий цикл находит значения аппроксимирующей функции, разность между этими значениями и корнями дифференциального уравнения Y(I), квадрат разности, а также производит их суммирование. Далее находится величина погрешности аппроксимации и все данные выводятся на экран.

Общая программа решения дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией результатов представлена на рис. 7 вместе с программой решения дифференциального уравнения, так как из нее получают значения X(I) и Y(I).

Читайте также:  Закладки на мобильном телефоне

Рис. 6. Блок-схема алгоритма решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов.

PRINT " Нахождение коэффициентов по методу Эйлера — Коши"

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Район Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х Удмуртская респ. 68,8 45,1 Свердловская обл. 61,2 59,0 Башкортостан 59,9 57,2 Челябинская обл. 56,7 61,8 Пермская обл. 55,0 58,8 Курганская обл. 54,3 47,2 Оренбургская обл. 49,3 55,2

Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации Аср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии.
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода.
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс — индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии:
y = -0.35 x + 76.88

x y x 2 y 2 x • y y(x) (y i -y cp ) 2 (y-y(x)) 2 |y — y x |:y
45,1 68,8 2034,01 4733,44 3102,88 61,28 119,12 56,61 0,1094
59 61,2 3481 3745,44 3610,8 56,47 10,98 22,4 0,0773
57,2 59,9 3271,84 3588,01 3426,28 57,09 4,06 7,9 0,0469
61,8 56,7 3819,24 3214,89 3504,06 55,5 1,41 1,44 0,0212
58,8 55 3457,44 3025 3234 56,54 8,33 2,36 0,0279
47,2 54,3 2227,84 2948,49 2562,96 60,55 12,86 39,05 0,1151
55,2 49,3 3047,04 2430,49 2721,36 57,78 73,71 71,94 0,172
384,3 405,2 21338,41 23685,76 22162,34 405,2 230,47 201,71 0,5699
Читайте также:  Поиск кроссовок по фото

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
. . .

Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических:

F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Ссылка на основную публикацию
Передача файлов через bluetooth не завершена
Если вы захотели отправить файлы (фото, видео и другие) по Bluetooth со своего Android телефона на ноутбук или компьютер, сделать...
Охлаждение оперативной памяти своими руками
Не будем задаваться вопросом «зачем это?» - и так понятно. Многие производители, заложив в свою IT-продукцию широкие возможности, в том...
Охлаждение для телефона своими руками
Одним из популярных технических решений в смартфонах 2018 года стало использование систем водяного охлаждения — например, трубки с жидкостью стоят...
Перемещение по таблице в excel
Перемещение по ячейкам листа осуществляется с помощью курсора (управляемый черный прямоугольник). Чаще всего при заполнении данными листов Excel необходимо перемещаться...
Adblock detector