Определить среднее значение функции на отрезке

Определить среднее значение функции на отрезке

В этой инструкции описывается метод нахождения среднего значения функции, путём нахождения интеграла этой функции.

Инструкция

Что вам понадобится:

  • Умение решать интегралы, знание методов интегрирования
  • знание методов дифференцирования
  • ручка (если есть необходимость в записи)
  • листок бумаги (если нужно куда-то записать)
  • учебник (часто пригождается)

1 шаг

Сначала нужно найти неопределённый интеграл заданной функции y= f(x), при этом домножив функцию f(x) на dx :

где F(x) – это первообразная от f(x), а C – это константа, которую мы обязательно должны дописать, пусть и схематично. Искать эту константу в конкретном примере не нужно, нужно просто указать что она есть.

2 шаг

Затем нам нужно найти определённый интеграл функции (y=f(x)), в котором нижний предел A – будет равен меньшему значению заданного интервала(промежутка), а верхний предел B – будет равен большему значению заданного интервала(промежутка) [A,B], он будет равен разности значений первообразной F(x).

То-есть сначала мы находим первое значение первообразной, подставив вместо переменной x число B, затем находим второе значение первообразной, в котором переменную x мы заменяем на число A, и из первого значения вычитаем второе.

3 шаг

Когда мы нашли определённый интеграл, нам нужно разделить его значение на разность большего и меньшего значения интервала(промежутка): среднее значение f(x)=∆F/(B-A)

4 шаг

Рассмотрим один из примеров,
шаг первый, самый сложный (к нему мы еще будем возвращаться в других примерах):

5 шаг

Здесь рассмотрен второй шаг.
С помощью калькулятора вычисляем что cos pi =(-1), а cos 0=1;
arctg(-1)=(-pi/4), arctg 1=pi/4 :

6 шаг

И здесь завершение, третий шаг. С :

Советы и предупреждения:

  • Это не универсальный метод, так как не любую функцию можно проинтегрировать.
  • Если чего-нибудь не хватает, предлагайте — подредактирую.
  • Методы и примеры со временем буду добавлять. Продолжение следует..
Читайте также:  Почему не устанавливается доктор веб

Обсуждение

Редкая инструкция с математическим уклоном!
Рекомендую добавить в теги “обучение”, математика", “школа”.
Раздел математики почти совсем не освещен на аКак, так что есть не освоенный простор 🙂

Спасибо, Violina. Сделаю.

Ваш комментарий

Запросить инструкцию

Не нашли нужную пошаговую инструкцию?
Возможно, что кто-то из посетителей сайта сможет помочь. Оставьте запрос прямо сейчас, если Вы уверены, что эта тема ещё не освещена на нашем проекте!

Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда. Числозаключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка, такая что. Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: еслинепрерывна на отрезке [a,b], то существует точкатакая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

Рассмотрим функцию f (x), интегрируемую по Риману на отрезке [a, b]. Раз она интегрируема на [a, b], то она также интегрируема на [a, x] ∀x ∈ [a, b]. Тогда при каждом x ∈ [a, b] имеет смысл выражение , и при каждом x оно равно некоторому числу.

Таким образом, каждому x ∈ [a, b] поставлено в соответствие некоторое число ,

т.е. на [a, b] задана функция:

(3.1)

Функция F (x), заданная в (3.1), а также само выражение называется

интегралом с переменным верхним пределом. Она определена на всем отрезке [a, b]

Читайте также:  Антивирус не видит телефон

интегрируемости функции f (x).

Условие: f (t) непрерывна на [a, b], а функция F (x) задана формулой (3.1).

Утверждение: Функция F(x) дифференцируема на [a, b], причем F (x) = f (x).

(В точке a она дифференцируема справа, а в точке b – слева.)

Поскольку для функции одной переменной F (x) дифференцируемость равносильна существованию производной во всех точках (в точке a справа, а в точке b – слева), то мы найдем производную F (x). Рассмотрим разность

,

при этом точка ξ лежит на отрезке [x, x + ∆x] (или [x + ∆x, x] если ∆x c=F(a), и

.

Перенесем F(a) в последнем равенстве в левую часть, переобозначим переменную интегрирования снова через x и получим формулу Ньютона – Лейбница:

Ссылка на основную публикацию
Они обычно ходят всюду вместе
A phrasal verbis usually a two-word verb: get on, go behind, fall off, turn up, run off. The most common...
Ну что друзья запятые
Следует отличать междометие «ну» от частицы. Междометие обособляется, частица — нет. 1. Междометие подразумевает, что говорящий задумался и подбирает слова,...
Обзор кнопочных телефонов самсунг
Если вы ищите лучший кнопочный телефон 2019 года, который можно подарить ребенку, пожилому человеку, или использовать в качестве резервного рабочего,...
Определение задачи использует нерекомендуемый компонент планировщик
Планировщик задач Windows позволяет пользователю выполнять продвинутую настройку ПК и совершать запуск нужных ему приложений и утилит в конкретное время...
Adblock detector