Как перевернуть дробь в уравнении

Как перевернуть дробь в уравнении

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы , надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы , надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

  1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
  2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Читайте также:  Самсунг подставка подключена как отключить

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения. Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Для любых ненулевых чисел (displaystyle a,, b,, c) преобразуйте тройную дробь в обыкновенную несократимую дробь:

Читайте также:  Регулировка браслета часов casio
(displaystyle frac<phantom<123>aphantom<123>><frac>=)

Заменим главную черту в дроби (самую длинную, которая стоит напротив знака равенства) на знак деления:

Мы получили деление числа (displaystyle a) на дробь (displaystyle frac.) Для того чтобы разделить число на дробь, воспользуемся следующим правилом.

Деление действительного числа на дробь

Чтобы разделить действительное число на дробь, нужно это число умножить на обратную дробь.

То есть, чтобы поделить на дробь, надо:

1) перевернуть ее (поменять местами числитель и знаменатель);

2) умножить на полученную дробь.

Ответ: (displaystyle frac<phantomacphantom>.)

Умножение обыкновенной дроби на дробь.

Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо умножить числитель на числитель (получим числитель произведения) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби. Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Обратите внимание! Здесь не нужно искать общий знаменатель!!

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление обыкновенной дроби на дробь происходит так: переворачиваете вторую дробь (т.е. меняете числитель и знаменатель местами) и после этого дроби перемножаются.

Формула деления обыкновенных дробей:

Умножение дроби на натуральное число.

Обратите внимание! При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножается на наше натуральное число, а знаменатель дроби оставляем прежним. Если результатом произведения оказалась неправильная дробь, то обязательно выделите целую часть, превратив неправильную дробь в смешанную.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением, переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем дробь;
  • если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.
Читайте также:  Как создать текстовый файл через cmd

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Ссылка на основную публикацию
Как открыть ipa на андроиде
Для Android есть какие-нибудь программы, которые читают формат ipa? Файл .ipa — расширение для яблочных устройств. У них с Android...
Как накладывать текстуры в blender
После завершения процесса моделирования возникает необходимость наложения материалов или текстур на объект. В данном уроке будет затронут непосредственно процесс текстурирования....
Как написать в подслушано анонимно
Часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда нужно отправить в группу какой-либо контент, но не хочется открывать свои персональные данные, чтобы...
Как отключить услугу старт на мегафон тв
Опция Мегафон Старт предлагает своим клиентам просмотры лучших отечественных фильмов, эксклюзивных новинок и главных хитов сезона. Причем опция просмотров фильмов...
Adblock detector