Как найти квантиль нормального распределения

Как найти квантиль нормального распределения

Рассмотрим вычисление квантилей для некоторых функций распределений, представленных в MS EXCEL .

Понятие Квантиля основано на определении Функции распределения . Поэтому, перед изучением Квантилей рекомендуем освежить в памяти понятия из статьи Функция распределения вероятности .

Сначала дадим формальное определение квантиля, затем приведем примеры их вычисления в MS EXCEL.

Определение

Пусть случайная величина X , имеет функцию распределения F ( x ). α-квантилем ( альфа- квантиль, x a , квантиль порядка α, нижний α- квантиль ) называют решение уравнения x a =F -1 (α), где α — вероятность, что случайная величина х примет значение меньшее или равное x a , т.е. Р(х файл примера Лист Определение ):

Примечание : О построении графиков в MS EXCEL можно прочитать статью Основные типы диаграмм в MS EXCEL .

Например, с помощью графика вычислим 0,21-ю квантиль , т.е. такое значение случайной величины, что Р(X Примечание : При вычислении квантилей в MS EXCEL используются обратные функции распределения : НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Точное значение квантиля в нашем случае можно найти с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(0,21)

СОВЕТ : Процедура вычисления квантилей имеет много общего с вычислением процентилей выборки (см. статью Процентили в MS EXCEL ).

Квантили специальных видов

Часто используются Квантили специальных видов:

В качестве примера вычислим медиану (0,5-квантиль) логнормального распределения LnN(0;1) (см. файл примера лист Медиана ).

Это можно сделать с помощью формулы =ЛОГНОРМ.ОБР(0,5; 0; 1)

Квантили стандартного нормального распределения

Необходимость в вычислении квантилей стандартного нормального распределения возникает при проверке статистических гипотез и при построении доверительных интервалов.

Примечание : Про проверку статистических гипотез см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL . Про построение доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL .

В данных задачах часто используется специальная терминология:

  • Нижний квантиль уровняальфа ( α percentage point) ;
  • Верхний квантиль уровня альфа (upper α percentage point) ;
  • Двусторонние квантили уровняальфа .

Нижний квантиль уровня альфа — это обычный α-квантиль. Чтобы пояснить название « нижний» квантиль , построим график плотности вероятности и функцию вероятности стандартного нормального распределения (см. файл примера лист Квантили ).

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение меньше α-квантиля . Из определения квантиля эта вероятность равна α . Из графика функции распределения становится понятно, откуда происходит название " нижний квантиль" — выделенная область расположена в нижней части графика.

Для α=0,05, нижний 0,05-квантиль стандартного нормального распределения равен -1,645. Вычисления в MS EXCEL можно сделать по формуле:

Однако, при проверке гипотез и построении доверительных интервалов чаще используется "верхний" α-квантиль. Покажем почему.

Верхним αквантилем называют такое значение x α , для которого вероятность, того что случайная величина X примет значение больше или равное x α равна альфа: P(X>= x α )= α . Из определения понятно, что верхний альфаквантиль любого распределения равен нижнему (1- α)квантилю. А для распределений, у которых функция плотности распределения является четной функцией, верхний αквантиль равен нижнему αквантилю со знаком минус . Это следует из свойства четной функции f(-x)=f(x), в силу симметричности ее относительно оси ординат.

Читайте также:  Вернитесь назад и подключитесь к другой сети

Действительно, для α=0,05, верхний 0,05-квантиль стандартного нормального распределения равен 1,645. Т.к. функция плотности вероятности стандартного нормального распределения является четной функцией, то вычисления в MS EXCEL верхнего квантиля можно сделать по двум формулам:

Чтобы пояснить название « верхний» квантиль , построим график плотности вероятности и функцию вероятности стандартного нормального распределения для α=0,05.

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение больше верхнего 0,05-квантиля , т.е. больше значения 1,645. Эта вероятность равна 0,05.

На графике плотности вероятности площадь выделенной области равна 0,05 (5%) от общей площади под графиком (равна 1). Из графика функции распределения становится понятно, откуда происходит название "верхний" квантиль выделенная область расположена в верхней части графика. Если Z больше верхнего квантиля , т.е. попадает в выделенную область, то нулевая гипотеза отклоняется.

Также при проверке двухсторонних гипотез и построении соответствующих доверительных интервалов иногда используется понятие "двусторонний" α-квантиль. В этом случае условие отклонения нулевой гипотезы звучит как |Z |>Z α /2 , где Z α /2верхний α/2-квантиль . Чтобы не писать верхний α/2-квантиль , для удобства используют "двусторонний" α-квантиль. Почему двусторонний? Как и в предыдущих случаях, построим график плотности вероятности стандартного нормального распределения и график функции распределения .

Невыделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение между нижним квантилем уровня α /2 и верхним квантилем уровня α /2, т.е. будет между значениями -1,960 и 1,960 при α=0,05. Эта вероятность равна в нашем случае 1-(0,05/2+0,05/2)=0,95. Если Z попадает в одну из выделенных областей, то нулевая гипотеза отклоняется.

Вычислить двусторонний 0,05квантиль это можно с помощью формул MS EXCEL: =НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2) или =-НОРМ.СТ.ОБР(0,05/2)

Другими словами, двусторонние α-квантили задают интервал, в который рассматриваемая случайная величина попадает с заданной вероятностью α.

Квантили распределения Стьюдента

Аналогичным образом квантили вычисляются и для распределения Стьюдента . Например, вычислять верхний α/2- квантиль распределения Стьюдента с n -1 степенью свободы требуется, если проводится проверка двухсторонней гипотезы о среднем значении распределения при неизвестной дисперсии ( см. эту статью ).

Для верхних квантилей распределения Стьюдента часто используется запись t α/2,n-1 . Если такая запись встретилась в статье про проверку гипотез или про построение доверительного интервала , то это именно верхний квантиль .

Примечание : Функция плотности вероятности распределения Стьюдента , как и стандартного нормального распределения , является четной функцией.

Чтобы вычислить в MS EXCEL верхний 0,05/2квантиль для t-распределения с 10 степенями свободы (или тоже самое двусторонний 0,05-квантиль ), необходимо записать формулу =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05; 10) или =СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 10) или =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-0,05/2; 10) или =-СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,05/2; 10)

.2X означает 2 хвоста, т.е. двусторонний квантиль .

Квантили распределения ХИ-квадрат

Вычислять квантили распределения ХИ-квадрат с n -1 степенью свободы требуется, если проводится проверка гипотезы о дисперсии нормального распределения (см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о дисперсии нормального распределения ).

Читайте также:  Как открыть трейд оффер для всех

При проверке таких гипотез также используются верхние квантили. Например, при двухсторонней гипотезе требуется вычислить 2 верхних квантиля распределения ХИ 2 : χ 2 α/2,n-1 и χ 2 1- α/2,n-1 . Почему требуется вычислить два квантиля , не один, как при проверке гипотез о среднем , где используется стандартное нормальное распределение или t-распределение ?

Дело в том, что в отличие от стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента , плотность распределения ХИ 2 не является четной (симметричной относительно оси х). У него все квантили больше 0, поэтому верхний альфа-квантиль не равен нижнему (1-альфа)-квантилю или по-другому: верхний альфа-квантиль не равен нижнему альфа-квантилю со знаком минус.

Чтобы вычислить верхний 0,05/2квантиль для ХИ 2 -распределения с числом степеней свободы 10, т.е. χ 2 0,05/2,n-1 , необходимо в MS EXCEL записать формулу =ХИ2.ОБР.ПХ(0,05/2; 10) или =ХИ2.ОБР(1-0,05/2; 10)

Результат равен 20,48. .ПХ означает правый хвост распределения, т.е. тот который расположен вверху на графике функции распределения .

Чтобы вычислить верхний (1-0,05/2)- квантиль при том же числе степеней свободы , т.е. χ 2 1-0,05/2,n-1 и необходимо записать формулу =ХИ2.ОБР.ПХ(1-0,05/2; 10) или =ХИ2.ОБР(0,05/2; 10)

Результат равен 3,25.

Квантили F-распределения

Вычислять квантили распределения Фишера с n 1 -1 и n 2 -1 степенями свободы требуется, если проводится проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений (см. статью Двухвыборочный тест для дисперсии: F-тест в MS EXCEL ).

При проверке таких гипотез используются, как правило, верхние квантили. Например, при двухсторонней гипотезе требуется вычислить 2 верхних квантиля F -распределения: F α/2,n1-1, n 2 -1 и F 1-α/2,n1-1, n 2 -1 . Почему требуется вычислить два квантиля , не один, как при проверке гипотез о среднем ? Причина та же, что и для распределения ХИ 2 – плотность F-распределения не является четной . Эти квантили нельзя выразить один через другой как для стандартного нормального распределения . Верхний альфа-квантиль F -распределения не равен нижнему альфа-квантилю со знаком минус.

Чтобы вычислить верхний 0,05/2-квантиль для F -распределения с числом степеней свободы 10 и 12, необходимо записать формулу =F.ОБР.ПХ(0,05/2;10;12) =FРАСПОБР(0,05/2;10;12) =F.ОБР(1-0,05/2;10;12)

Результат равен 3,37. .ПХ означает правый хвост распределения, т.е. тот который расположен вверху на графике функции распределения .

Квантили распределения Вейбулла

Иногда обратная функция распределения может быть представлена в явном виде с помощью элементарных функций, например как для распределения Вейбулла . Напомним, что функция этого распределения задается следующей формулой:

После логарифмирования обеих частей выражения, выразим x через соответствующее ему значение F(x) равное P:

Примечание : Вместо обозначения α-квантиль может использоваться pквантиль. Суть от этого не меняется.

Это и есть обратная функция, которая позволяет вычислить Pквантиль ( p quantile ). Для его вычисления в формуле нужно подставить известное значение вероятности P и вычислить значение х p (вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х p равна P).

Квантили экспоненциального распределения

Задача : Случайная величина имеет экспоненциальное распределение :

Требуется выразить p -квантиль x p через параметр распределения λ и заданную вероятность p .

Примечание : Вместо обозначения α-квантиль может использоваться p-квантиль . Суть от этого не меняется.

Читайте также:  Vid 05e3 pid 0751 восстановить

Определение 1. Кванти́ль в математической статистике – число xp такое, что заданная случайная величина X превышает его лишь с фиксированной вероятностью p.

Классное определение, но годится такое определение разве что для википедии, оно не конструктивно, т.е не пригодно для практических целей. Немного терпения, и вам станет понятно данное определение. Более того, вы с легкостью сможете находить квантили любого уровня, а также сможете применять данное понятие для решения задач по статистике.

Попытка №2 — конструктивное определение квантиля:

Определение 1*. Квантилью xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины X, имеющей функцию распределения F (x), называют решение xp уравнения F (x) = p.

Следовательно, для того чтобы найти квантиль xp необходимо найти решение уравнения F (x) = p.

Для наглядности, найдем решение графически:

1. Построим функцию распределения F(x);

2. Построим горизонтальную линию уровня p;

3. Находим точку пересечения данных линий, опускаем перпендикуляр на ось X, получаем квантиль xp (квантиль уровня p) смотри рисунок 1.

Аналогично для дискретной случайной величины X смотри рисунок 2.

Замечание. Для дискретной случайной величины X функция распределения F(x) имеет ступенчатый вид, функция не монотонна. Поэтому решение уравнения F(x) = p в общем случае не однозначно ( в решение попадают интервалы). В таких случаях, для определенности квантилем назначают средину интервала, как показано на рис.2.

Квантили удобны для сравнения различных законов распределения вероятностей. В некоторых случаях пользуются децилями: x0,1 , x0,2 , x0,3 , …, x0,9 . Однако наибольшее распространение получили квартили. Квартилями называют квантили порядков 0,25, 0,5 и 0,75. Будем их обозначать соответственно как k1 , k2 , k3 . Квартили k1 и k3 называют обычно нижней и верхней квартилями. Вторая квартиль k2 совпадает с медианой распределения.

Определение 2. Децилями называют квантили уровня 0,1, 0,2, 0,3, . 0,9, обозначают соответственно d1, d2, d3. d9.

Определение 3. Квартилями называют квантили порядков 0,25, 0,5 и 0,75, обозначают соответственно k1 , k2 , k3 .

Определение 4. Медианой называют квантиль уровня 0,5,

обозначают Me = x0,5.

Ну вот, пришло время, на конкретном примере показать, как находить квантили.

Пример. Пусть имеется выборка дискретной случайной величины X:

3 1 5 1 2 4 5 3 4
2 4 2 2 3 1 3 2 1
4 3 2 1 4 2 3 2

Найти квантили уровня 0,2 и 0,3 ( x0,2 и x0,3 )

1) Находим функцию распределения дискретной случайной величины:

Вариант Частота Частность F(X)
4 0,133333 0,133333
1 5 0,166667 0,3
2 8 0,266667 0,566667
3 6 0,2 0,766667
4 5 0,166667 0,933333
5 2 0,066667 1

2) Строим график функции распределения, проводим линии уровня p = 0,2 и p = 0,3,

3) получаем квантили: x0,2 = 1, x0,3 = 1,5, или, можно сказать так, получаем децили d2=1, d3=1,5

Квантиль – одна из числовых характеристик распределения вероятностей. Для действительной непрерывной случайной величины Х с функцией распределения F(x) квантилью порядка р, 0

Kвантили функции нормального распределения F(x) равны K1/4= -0.67, K3/4= 0.67

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8831 — | 7639 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Как запустить службу теневого копирования
Теневая копия — технология Microsoft, позволяющая пользователям делать вручную или автоматическую синхронизацию документов, вплоть до заблокированных. Для функционирования службы теневого...
Как выйти из знакомства майл ру
Привет! Сегодня я покажу вам как удалить свою анкету с сайта знакомств Майл. Вы можете раз и навсегда удалить свою...
Как выключить микрофон в fl studio 12
При записи вокала очень важно подобрать не только правильное оборудование, но и выбрать для этого хорошую программу, где можно осуществить...
Как из негатива сделать позитив в paint
Для преобразования негатива фотографии в позитив достаточно указать фото на вашем компьютере или телефоне, нажать кнопку ОК, подождать пару секунд...
Adblock detector