Формула для вычисления факториала

Формула для вычисления факториала

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества <A,B,C,D> можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

,

где произведение берется по всем простым числам.

Другие свойства

  • x! 2 >xx >x! > = x , при x>1

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1 .

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Примориал (англ. Primorial ) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0 ) с

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial ), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0 ) равны:

Читайте также:  Как разблокировать usb порты

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1) -уровневых факториалов, то есть

где для n > 0 и .

Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Двойной факториал" в других словарях:

Факториал — числа n (лат. factorialis действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно … Википедия

Двойной крестик — Одинарный и двойной крестики разными шрифтами Типографский крестик (†, в Юникоде U+2020, в dagger;), иногда его называют «кинжалом», «обелиском», «даггером», типографический знак. Двойной крестик (‡, в Юникоде U+2021, в Dagger;) вариант «кинжала… … Википедия

Праймориал — Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел до n включительно: . По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в… … Википедия

Примориал — Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел до n включительно: . По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в… … Википедия

Восклицательный знак — ! Именно так должен выглядеть этот символ Юникод U+00 … Википедия

Список интегралов от экспоненциальных функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования. для … Википедия

Гиперсфера — Стереографическая проекция поверхности 3 сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3 сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исход … Википедия

Эллиптический интеграл — В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером. В современном представлении, эллиптический интеграл это некоторая… … Википедия

Читайте также:  Программа для переписки в инстаграмме на компьютере

Tcl — Запрос «TCL» перенаправляется сюда; о минидистрибутиве Linux см. Tiny Core Linux. Tcl Семантика: императивный … Википедия

TCL — Семантика: императивный, скриптовый Тип исполнения: интерпретатор Появился в: 1988 г. Автор(ы): Джон Остераут Последняя версия: 8.5.7 / 15 апреля 2009 … Википедия

В этой статье я расскажу о факториале, его свойствах и о том, как вычислить его значение с помощью Excel. Мы проверим, как точно вычисляет значение факториала формула Стирлинга и разберем решение типовых задач с факториалами, а на закуску — несколько видеороликов (и конечно расчетный файл эксель). Удачи!

Что такое факториал?

Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. Факториал определен только для целых неотрицательных чисел.

$$n!=1cdot 2cdot 3 cdot . cdot (n-1) cdot n$$

По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$. Далее:

$$ 2!=1 cdot 2 = 2,\ 3!=1 cdot 2 cdot 3= 6,\ 4!=1 cdot 2 cdot 3cdot 4= 24,\ 5!=1 cdot 2 cdot 3cdot 4cdot 5= 120,\ . $$

Факториал растет невероятно быстро (недаром он обозначается восклицательным знаком!), существенно быстрее степенной $x^n$ или даже экспоненциальной функции $e^n$ (но медленее чем $e^$)

Факториал широко применяется в комбинаторике — он равен числу всех перестановок $n$-элементного множества, а также входит в формулы для числа сочетаний и размещений. Факториал встречается в математическом анализе (чаще при разложениях функции в степенные ряды), а также в функциональном анализе и теории чисел.

Формулы и свойства факториала

Рекуррентная формула для факториала:

Факториал связан с гамма-функцией по формуле: $n!= Gamma(n+1)$. Фактически, гамма-функция — обобщение понятия факториала на все положительные вещственные функции.

Для любого натурального $n$ выполняется:

$$ (n!)^2 ge n^n ge n! ge n. $$

Любопытная формула связывает факториал и производную степенной функции:

Формула Стирлинга

Для приближенного вычисления факториала применяют асимптотическую формулу Стирлинга:

Читайте также:  Работа с волосами в фотошопе

Обычно для расчетов берут только главный член:

$$ n! approx sqrt <2pi n>left( frac
ight )^n. $$

Ниже вы увидите пример расчета факториала по обычной формуле и с помощью формулы Стирлинга, которая, как видно, дает вполне хорошее приближение (начиная с $n=9$ относительная погрешность уже меньше 1%).

Расчет факториала в Эксель

Для нахождения факториала в Excel нужно использовать специальную функцию =ФАКТР($n$) , где $n$ — число, факториал которого нужно найти.

Пример расчета и ввода формулы ниже на скриншоте, также вы можете скачать расчетный файл

Примеры задач с факториалом

Рассмотрим решение типовых задач.

Пример 1. На полке стоят 8 дисков. Сколькими способами их можно расставить между собой?

Решение. Требуется найти число всех перестановок 8 различных объектов, что вычисляется как раз как факториал:

$$N=8!=1 cdot 2 cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot 7cdot 8=40320.$$

Пример 3. Упростить выражение

Пример 4. Упростить дробь, содержащую факториал:

Видео о факториале

Небольшое учебное видео про факториал — определение, свойства, как быстро растет, как вычислить в Excel по встроенной формуле и по приближенной формуле Стирлинга.

Расчетный файл из видео можно скачать

Напоследок — насколько быстро растет факториал!

Этот онлайн калькулятор рассчитывает приближенное значение факториала по формуле Стирлинга, для целых чисел вплоть до 170.

Факториал числа n (обозначается n!) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Поскольку в вычислениях иногда бывает довольно трудно перемножать все числа входящие в факториал, используется так называемая формула Стирлинга:

приближенная формула для вычисления факториала.

Во многих случаях для упрощения рассматривают только главный член формулы

При этом утверждается, что

Калькулятор рассчитывает "честный" факториал, факториал по формуле Стирлинга, а также нижнюю и верхнюю границу (из неравенства). К сожалению, из-за ограниченных вычислительных способностей Javascript максимально возможный факториал для калькулятора — 170!

Ссылка на основную публикацию
Фильм про девушку запертую в квартире
От нехватки ли бюджета, по сюжетному ли велению или просто из желания выпендриться, режиссеры время от времени помещают киноперсонажей в...
Установка строго с биоса
БИОС – основа, на которой работает вся система компьютера. Именно с его помощью осуществляется выполнение ввода или вывода информации, а...
Установка тахометра на дизель
И так…тахометр для дизеля …мечта многих владельцев старых тарахтелок в большинстве которых тахометра просто не было с завода…В старых дизельных...
Фильмы для ipod classic
Хорошо, когда есть возможность удобно устроиться перед широким экраном огромного телевизора, а что делать, когда находишься в дороге и доступа...
Adblock detector