Что значит привести подобные слагаемые

Что значит привести подобные слагаемые

Одним из наиболее часто используемых тождественных преобразований является приведение подобных слагаемых. В этой статье мы дадим определение подобных слагаемых, разберемся, что называют приведением подобных слагаемых, рассмотрим правила, по которым выполняется это действие, и приведем примеры приведения подобных слагаемых с подробным описанием решения.

Навигация по странице.

Определение и примеры подобных слагаемых.

Разговор о подобных слагаемых возникает после знакомства с буквенными выражениями, когда возникает необходимость проведения преобразований с ними. По учебникам математики Н. Я. Виленкина определение подобных слагаемых дается в 6 классе, и оно имеет следующую формулировку:

Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Стоит внимательно разобраться в этом определении. Во-первых, речь идет о слагаемых, а, как известно, слагаемые являются составными элементами сумм. Значит, подобные слагаемые могут присутствовать лишь в выражениях, которые представляют собой суммы. Во-вторых, в озвученном определении подобных слагаемых присутствует незнакомое понятие «буквенная часть». Что же понимают под буквенной частью? Когда дается это определение в шестом классе, под буквенной частью понимается одна буква (переменная) или произведение нескольких букв. В-третьих, остается вопрос: «А что же это за такие слагаемые с буквенной частью»? Это слагаемые, представляющие собой произведение некоторого числа, так называемого числового коэффициента, и буквенной части.

Вот теперь можно привести примеры подобных слагаемых. Рассмотрим сумму двух слагаемых 3·a и 2·a вида 3·a+2·a . Слагаемые в этой сумме имеют одинаковую буквенную часть, которая представлена буквой a , поэтому, согласно определению эти слагаемые являются подобными. Числовыми коэффициентами указанных подобных слагаемых являются числа 3 и 2 .

Еще пример: в сумме 5·x·y 3 ·z+12·x·y 3 ·z+1 подобными являются слагаемые 5·x·y 3 ·z и 12·x·y 3 ·z с одинаковой буквенной частью x·y 3 ·z . Заметим, что в буквенной части присутствует степень y 3 , ее присутствие не нарушает данное выше определение буквенной части, так как она, по сути, является произведением y·y·y .

Отдельно отметим, что числовые коэффициенты 1 и −1 у подобных слагаемых часто не записываются явно. Например, в сумме 3·z 5 +z 5 −z 5 все три слагаемых 3·z 5 , z 5 и −z 5 являются подобными, они имеют одинаковую буквенную часть z 5 и коэффициенты 3 , 1 и −1 соответственно, из которых 1 и −1 явно не видны.

Дальше из контекста указанного выше учебника становится видно дополнение к определению подобных слагаемых – слагаемые в буквенном выражении, не имеющие буквенной части, также называют подобными.

Исходя из этого, в сумме 5+7·x−4+2·x+y подобными слагаемыми являются не только 7·x и 2·x , но и слагаемые без буквенной части 5 и −4 .

Позже расширяется и понятие буквенной части – буквенной частью начинаю считать не только произведение букв, а произвольное буквенное выражение. К примеру, в учебнике алгебры для 8 класса авторов Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского приведена сумма вида , и сказано, что составляющие ее слагаемые являются подобными. Общей буквенной частью этих подобных слагаемых является выражение с корнем вида .

Читайте также:  Сервисные коды телевизоров samsung

Аналогично, подобными слагаемыми в выражении 4·(x 2 +x−1/x)−0,5·(x 2 +x−1/x)−1 можно считать слагаемые 4·(x 2 +x−1/x) и −0,5·(x 2 +x−1/x) , так как они имеют одинаковую буквенную часть (x 2 +x−1/x) .

Обобщив всю изложенную информацию, можно дать следующее определение подобных слагаемых.

Подобными слагаемыми называются слагаемые в буквенном выражении, имеющие одинаковую буквенную часть, а также слагаемые, не имеющие буквенной части, где под буквенной частью понимается любое буквенное выражение.

Отдельно скажем, что подобные слагаемые могут быть одинаковыми (когда равны их числовые коэффициенты), а могут быть и разными (когда их числовые коэффициенты различны).

В заключение этого пункта обсудим один очень тонкий момент. Рассмотрим выражение 2·x·y+3·y·x . Являются ли слагаемые 2·x·y и 3·y·x подобными? Этот вопрос можно формулировать и так: «одинаковы ли буквенные части x·y и y·x указанных слагаемых»? Порядок следования буквенных множителей в них различен, так что фактически они не одинаковые, следовательно, слагаемые 2·x·y и 3·y·x в свете введенного выше определения не являются подобными.

Однако достаточно часто такие слагаемые называют подобными (но для строгости лучше этого не делать). При этом руководствуются вот чем: согласно переместительному свойству умножения перестановка множителей в произведении не влияет на результат, поэтому исходное выражение 2·x·y+3·y·x можно переписать в виде 2·x·y+3·x·y , слагаемые которого подобны. То есть, когда говорят о подобных слагаемых 2·x·y и 3·y·x в выражении 2·x·y+3·y·x , то имеют в виду слагаемые 2·x·y и 3·x·y в преобразованном выражении вида 2·x·y+3·x·y .

Приведение подобных слагаемых, правило, примеры

Преобразование выражений, содержащих подобные слагаемые, подразумевает выполнение сложения этих слагаемых. Это действие получило особое название — приведение подобных слагаемых.

Приведение подобных слагаемых проводится в три этапа:

  • сначала проводится перестановка слагаемых так, чтобы подобные слагаемые оказались рядом друг с другом;
  • после этого выносится за скобки буквенная часть подобных слагаемых;
  • наконец, вычисляется значение числового выражения, образовавшегося в скобках.

Разберем записанные шаги на примере. Приведем подобные слагаемые в выражении 3·x·y+1+5·x·y . Во-первых, переставляем слагаемые местами так, чтобы подобные слагаемые 3·x·y и 5·x·y оказались рядом: 3·x·y+1+5·x·y=3·x·y+5·x·y+1 . Во-вторых, выносим буквенную часть за скобки, получаем выражение x·y·(3+5)+1 . В-третьих, вычисляем значение выражения, которое образовалось в скобках: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . Так как числовой коэффициент принято записывать перед буквенной частью, то перенесем его на это место: x·y·8+1=8·x·y+1 . На этом приведение подобных слагаемых завершено.

Для удобства три перечисленных выше шага объединяют в правило приведения подобных слагаемых: чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на буквенную часть (если она есть).

Решение предыдущего примера с использованием правила приведения подобных слагаемых будет короче. Приведем его. Коэффициентами подобных слагаемых 3·x·y и 5·x·y в выражении 3·x·y+1+5·x·y являются числа 3 и 5 , их сумма равна 8 , умножив ее на буквенную часть x·y , получаем результат приведения этих слагаемых 8·x·y . Осталось не забыть про слагаемое 1 в исходном выражении, в итоге имеем 3·x·y+1+5·x·y=8·x·y+1 .

Читайте также:  Не работает кнопка отправить адресат

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.

Приведите подобные слагаемые: 0,5·x+1/2+3,5·x−1/4 .

Сначала приведем подобные слагаемые 0,5·x и 3,5·x . По правилу складываем их коэффициенты 0,5+3,5=4 (при необходимости изучите статью сложение десятичных дробей), и этот результат умножаем на буквенную часть, получаем 4·x .

Теперь приводим подобные слагаемые без буквенной части 1/2+(−1/4)=1/2−1/4=1/4 . Здесь нам придется применить правило сложения чисел с разными знаками, после чего выполнить вычитание обыкновенных дробей. Имеем 1/2+(−1/4)=1/2−1/4=1/4 .

В итоге имеем 0,5·x+1/2+3,5·x−1/4=4·x+1/4 .

Краткая запись решения может быть такой: 0,5·x+1/2+3,5·x−1/4= (0,5·x+3,5·x)+(1/2−1/4)=4·x+1/4 .

В заключение разговора про приведение подобных слагаемых отметим, что это действие базируется на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое выражается равенством a·(b+c)=a·b+a·c . При приведении подобных слагаемых это равенство используется справа налево, то есть, в виде a·b+a·c=a·(b+c) .

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.

Например: 2а и –5а ; 13xy и 22xy ; –21abc и

1
3

abc .

Подобные слагаемые отличаются своими числовыми коэффициентами.

Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить
их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Приведем подобные слагаемые в выражениях :

5а + 2а – 3а = (5 + 2 – 3) • а = 4а ;

18x + x – 12x = (18 + 1 – 12) • x = 7x ;

Подобные слагаемые – это одночлены, у которых одинаковы буквенные множители.

одночлены (2)(x) и (5)(x) – подобны, так как и там, и там буквы одинаковы: икс;

одночлены (x^2y) и (-2x^2y) – подобны, так как и там, и там буквы одинаковы: икс в квадрате, умноженный на игрек. То, что перед вторым одночленом стоит знак минус не играет роли, просто у него отрицателен числовой множитель ( коэффициент );

одночлены (3xy) и (5x)– не подобны, так как в первом одночлене буквенные множители икс и игрек, а во втором – только икс;

одночлены (xy3yz) и (y^2 z7x) – подобны. Однако чтоб это увидеть, необходимо привести одночлены к стандартному виду . Тогда первый одночлен будет выглядеть как (3xy^2z), а второй как (7xy^2z) — и их подобие станет очевидно;

одночлены (7x^2) и (2x) – не подобны, так как в первом одночлене буквенные множители икс в квадрате (то есть (x·x)) , а во втором – просто один икс.

Как определяются подобные члены не нужно запоминать, лучше просто понять. Почему (2x) и (5x) называют подобными? А вы вдумайтесь: (2x) это тоже самое, что (x+x), а (5x) тоже самое, что (x+x+x+x+x). То есть, (2x) — это «два икса», а (5x) — «пять иксов». И там, и там в основе — одинаковое (подобное): икс. Просто разное «количество» этих самых иксов.

Другое дело, например, (5x) и (3xy). Здесь первый одночлен это по сути «пять иксов», а вот второй — «три икс(·)игреков» ((3xy=xy+xy+xy)). В основе – не одинаковое, не подобное.

Читайте также:  Как сделать операционную систему самому

Приведение подобных слагаемых

Подобные слагаемые можно складывать и вычитать, заменяя сложные выражения на более простые. Например, выражение (2x+5x) без проблем можно заменить на (7x). Логика такой замены понятна из пояснения выше:

Процесс замены суммы или разности подобных слагаемых одним одночленом называется «приведение подобных слагаемых».

Отметим при этом, что если слагаемые не подобны, то привести их не получится. Например, в сложить (2x^2) и (3x) – нельзя, они же разные!

Поймите, складывать не подобные слагаемые — все равно, что складывать рубли с килограммами: полная бессмыслица получится.

Приведение подобных слагаемых – весьма часто встречающийся шаг в упрощении выражений и алгебраических дробей , а также при решении уравнений и неравенств . Давайте посмотрим конкретный пример применения полученных знаний.

Пример. Решить уравнение (7x^2+3x-7x^2-x=6)

В левой части уравнения есть подобные слагаемые: (7x^2) и ((-7x^2)), а также (3x) и ((-x)). Перепишем уравнение так, чтоб они стояли рядом. Для этого меняем местами слагаемые одночлены, не забывая сохранять знаки.

Теперь приводим подобные. (7x^2) и ((-7x^2)) дадут в результате ноль. Действительно, если из (7x^2) вычесть (7x^2) — что получиться? Ноль. Поэтому их можно просто сократить: зачеркнуть. Они не играют роли. А (3x-x) можно записать как (2x).

Получили простое линейное уравнение . Делим его на (2) и получаем ответ.

Каждый раз переписывать уравнение так, чтоб подобные стояли рядом совсем необязательно, можно приводить их сразу. Здесь это было сделано для наглядности дальнейших преобразований.

Хочу задать вопрос

Здравствуйте, Дмитрий.
Уточните — в примере имеется ввиду, что между первой двойкой и скобкой стоит умножение (которое просто опустили для упрощения записи)?
Если да, то оба приведенных вами способа неверны, поскольку в них обоих вы выполняете умножение до деления. Напомню, что умножение и деление имеют одинаковый приоритет и выполняются по очереди в порядке слева направо.
Вот правила, определяющие порядок действий при вычислениях:
1) сначала выполняются действия в скобках
2) затем вычисляются степени, корни, логарифмы, синусы и т.д. (если они есть)
3) затем умножение и деление В ПОРЯДКЕ СЛЕВА НАПРАВО.
4) затем сложение и вычитание в порядке слева направо.
Причем внутри скобок также действуют правила 2, 3 и 4.
Таким образом порядок действий должен быть таким: 8:2*(2+2) =
(вычисляем скобку) = 8:2*4 =
(вычисляем деление) = 4*4 =
(вычисляем умножение) = 16.
Ответ: 16.
P.S. Замечу, что для того, чтоб ваше вычисление было верным, запись должна быть дополнена еще одной скобкой и выглядеть вот так: 8:(2(2+2)). Что вы, кстати и сделали в обоих ваших вычислениях (обратите внимание на появившиеся у вас скобки, которых не было в первоначальном примере)

Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте

Смотрите нас в YouTube

Ссылка на основную публикацию
Что делать после заправки картриджа canon
Многие пользователи принтеров Canon после очередной дозаправки картриджей сталкиваются с различными неполадками в работе устройств, в том числе и с...
Чем открывать jar файлы
Файл формата JAR открывается специальными программами. Чтобы открыть данный формат, скачайте одну из предложенных программ. Чем открыть файл в формате...
Чем открываются файлы dwg
Please try the following: Make sure that the Web site address displayed in the address bar of your browser is...
Что делать после скачивания драйвера для принтера
Часто задаваемый вопрос пользователей принтеров – как установить драйвер на принтер или МФУ. Вставьте флешку с драйвером в компьютер, в...
Adblock detector