Что такое компланарность векторов

Что такое компланарность векторов

Компланарность — свойство трёх (или большего числа) векторов, которые, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости [1] .

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными. Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, это свойство — основной критерий компланарности трёх векторов. Эквивалентный критерий компланарости — линейная зависимость компланарных векторов: существуют действительные числа λ 1 , λ 2 <displaystyle lambda _<1>,lambda _<2>> такие, что a → = λ 1 b → + λ 2 c → <displaystyle <vec >=lambda _<1><vec >+lambda _<2><vec >> для компланарных a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> , за исключением случаев b → = 0 → <displaystyle <vec >=<vec <0>>> или c → = 0 → <displaystyle <vec >=<vec <0>>> .

В трёхмерном пространстве три некомпланарных вектора a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> образуют базис. То есть любой вектор d → ∈ R 3 <displaystyle <vec >in mathbb ^<3>> можно представить в виде: d → = x 1 a → + x 2 b → + x 3 c → <displaystyle <vec >=x_<1><vec >+x_<2><vec >+x_<3><vec >> . Тогда < x 1 , x 2 , x 3 ><displaystyle ;<1>,x_<2>,x_<3>>> будут координатами d → <displaystyle <vec >> в данном базисе.

Обобщения [ править | править код ]

Критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а, например, как элементы произвольного векторного пространства.

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), некомпланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Определение 8. Векторы называются компланарными, если их можно отложить в одной плоскости.

Читайте также:  Как пользоваться повер поинт 2010

Свойства компланарных векторов.

1 . Коллинеарные векторы компланарны. Иными словами, во множество всех возможных компланарных между собой векторов вместе с каждым его вектором входят все векторы, коллинеарные с ним. В частности, нулевой вектор содержится в любом таком множестве и вместе с каждым вектором в это множество входит противоположный ему вектор. Отсюда же следует, что множество компланарных векторов замкнуто относительно операции умножения на действительное число.

2 . Сумма двух векторов есть вектор, компланарный с ними. Следовательно, множество компланарных векторов замкнуто относительно операции сложения.

3 . Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других.

Доказательство.  Пусть векторы компланарны. Возможны два случая.

1) Среди данных векторов есть хотя бы одна пара коллинеарных векторов. Пусть иколлинеарны. Тогда, по свойствам коллинеарных векторов, хотя бы один из них можно выразить через другой. Пусть. Тогда, т.е. векторесть линейная комбинация векторови.

2) Данные векторы попарно не коллинеарны. Отложим их от одной точки О. Пусть ,,. Отрезки ОА, ОВ, ОС попарно не параллельны. Проведём СD ОА так, что D  ОВ (прямой ОВ). Тогда получим , т.е. векторесть линейная комбинация векторови.

 Пусть . По свойствам 1 0 и 2 0 следует, что вектор компланарен с векторамии.

4 . Если векторы ине коллинеарны, то любой компланарный с ними вектор можно представить в виде их линейной комбинации.

Теорема 4. Множество всех компланарных векторов есть двумерное векторное пространство над полем действительных чисел. Базисом в нём является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Доказательство следует из предыдущих свойств.

Докажите, что векторы ,,параллельны одной плоскости.

Решение. Для решения задачи достаточно показать, что эти векторы компланарны.

Читайте также:  На каком сайте можно проверить айфон

;

;

=

= () + () = =. Так как, то эти векторы компланарны .

Теорема 5. Если векторы не компланарные, то любой геометрический вектор можно представить в виде их линейной комбинации.

Доказательство. Пусть векторы не компланарны. Очевидно, никакие два из них не являются коллинеарными. Пусть  любой вектор. Возможны два случая.

1) Вектор компланарен с какой-нибудь парой данных векторов. Пусть компланарен с векторами и . Тогда по свойству 3 0 компланарных векторов .

2) Вектор не компланарен ни с одной парой данных векторов. Отложим все четыре вектора от одной точки О. пусть ,,и(рис. 11). Проведём (DM)  (M  (AOB)) и (MN)  (N  (OA)). Тогда . Ноколлинеарен вектору, поэтому. Аналогично,,. Следовательно,.

Теорема 6. Множество всех геометрических векторов есть трёхмерное векторное пространство над полем действительных чисел. Базисом в нём является любая упорядоченная тройка некомланарных векторов.

Доказательство следует из теоремы 5 и свойств компланарных векторов.

В курсе линейной алгебры (в первом семестре) введены координаты вектора в данном базисе и рассмотрены свойства координат. Все определения и свойства их будут использоваться в векторных пространствах геометрических векторов.

Если в векторном пространстве зафиксированы два базиса В и В 1 , Т – матрица перехода от базиса В к базису В 1 , х и х 1 столбцы координат данного вектора в базисахВ и В 1 соответственно, то х = Тх 1 . Если эти формулы переписать в координатах во множестве компланарных векторов, то получим

где ,.

Во множестве всех геометрических векторов

где ,,

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных между собой векторов.

Таким образом, компланарные векторы (и только компланарные) расположатся в одной плоскости, если их начала поместить в одну точку (рис. 22).

Читайте также:  Мастер подстановок в субд ms access используется

Заметив, что два вектора всегда компланарны, мы будем искать условие компланарности трех векторов.

Пусть из трех компланарных векторов имеющих общее начало О, два вектора не коллинеарны (рис. 28). Через конец С третьего вектора с проведем прямую, параллельную вектору до пересечения в точке А, с прямой, на которой лежит вектор а. Тогда

По суть векторы, соответственно коллипеарные векторам и потому

Следовательно, получается линейная зависимость

В исключительном случае, когда три вектора с не только компланарны, но и коллинеарпы, каждые два вектора будут связаны линейной зависимостью, которую можно рассматривать как зависимость между тремя векторами:

Итак, три компланарных вектора всегда линейно зависимы.

Пусть теперь три вектора а, b, с связаны линейной зависимостью

причем хотя бы один скаляр, например у, отличен от нуля. Тогда мы получаем

т. е. векторы ооразугот три стороны треугольника (рис. 24) и лежат в одной плоскости.

Итак, три линейно зависимых вектора всегда компланарны.

Два доказанных положения мы можем теперь объединить в одно.

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Отсюда следует, что если выполняется линейное соотношение

между заведомо некомпланарными векторами а, b, с, то все скалярные коэффициенты должны равняться нулю;

Ссылка на основную публикацию
Что такое windows 10 pro
Кто бы мог подумать, но до с даты релиза Windows 10 прошел почти год. Сотни миллионов пользователей уже обзавелись новой...
Что делать после заправки картриджа canon
Многие пользователи принтеров Canon после очередной дозаправки картриджей сталкиваются с различными неполадками в работе устройств, в том числе и с...
Что делать после скачивания драйвера для принтера
Часто задаваемый вопрос пользователей принтеров – как установить драйвер на принтер или МФУ. Вставьте флешку с драйвером в компьютер, в...
Что такое winmail dat
Получив очередное письмо по почте, пользователь может столкнуться с ситуацией, что часть информации в нем отсутствует и в списке файлов...
Adblock detector