Что такое двойной факториал

Что такое двойной факториал

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества <A,B,C,D> можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

,

где произведение берется по всем простым числам.

Другие свойства

  • x! 2 >xx >x! > = x , при x>1

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1 .

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Примориал (англ. Primorial ) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0 ) с

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial ), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0 ) равны:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1) -уровневых факториалов, то есть

где для n > 0 и .

Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Двойной факториал" в других словарях:

Факториал — числа n (лат. factorialis действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно … Википедия

Двойной крестик — Одинарный и двойной крестики разными шрифтами Типографский крестик (†, в Юникоде U+2020, в dagger;), иногда его называют «кинжалом», «обелиском», «даггером», типографический знак. Двойной крестик (‡, в Юникоде U+2021, в Dagger;) вариант «кинжала… … Википедия

Читайте также:  Потеряла айфон как восстановить фото

Праймориал — Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел до n включительно: . По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в… … Википедия

Примориал — Факториал числа n (обозначается n!, произносится эн факториал) произведение всех натуральных чисел до n включительно: . По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в… … Википедия

Восклицательный знак — ! Именно так должен выглядеть этот символ Юникод U+00 … Википедия

Список интегралов от экспоненциальных функций — Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. Для более полного списка интегралов смотрите таблицу интегралов и другие списки интегралов. Заметим, что везде опущена аддитивная константа интегрирования. для … Википедия

Гиперсфера — Стереографическая проекция поверхности 3 сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3 сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исход … Википедия

Эллиптический интеграл — В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером. В современном представлении, эллиптический интеграл это некоторая… … Википедия

Tcl — Запрос «TCL» перенаправляется сюда; о минидистрибутиве Linux см. Tiny Core Linux. Tcl Семантика: императивный … Википедия

TCL — Семантика: императивный, скриптовый Тип исполнения: интерпретатор Появился в: 1988 г. Автор(ы): Джон Остераут Последняя версия: 8.5.7 / 15 апреля 2009 … Википедия

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

По определению полагают . Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, … (последовательность A000142 в OEIS)

Содержание

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества <A,B,C,D> из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение на простые множители в степени

Читайте также:  Людмила по английскому как пишется в загранпаспорте

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Другие свойства

  • Для натурального числа n

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают .

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, … (последовательность A006882 в OEIS)

Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом:

Пусть число n представимо в виде , где , . Тогда [1]

Двойной факториал является частным случаем m-кратного факториала для m = 2.

Связь с гамма-функцией

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial ) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial ), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал числа n как произведение первых n (m-1)-уровневых факториалов, то есть

где для 0" src="http://bin.sensegates.com/s/3/a/1/3a17f57d9af78403b7ac2dd5f82c2d3c.png" /> и .

Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Этот цикл статей я хочу посвятить обзору математических возможностей python 2.7. Вместе с моей любимой змеёй мы окунёмся в тайны математики и напишем такие функции, который просто поразят воображение. Итак, запускайте python, включайте голову, вперёд!

  1. Занимательная Математика, Очаровательный Python. Эпизод 1: Факториалы
  2. Занимательная Математика, Очаровательный Python. Эпизод 2: Праймориалы И Факторионы
  3. Занимательная Математика, Очаровательный Python. Эпизод 3: Финальный Аккорд
  1. Python (я буду использовать версию 2.7.5 под Windows 64 bit)
  2. Мозги (я буду пользовать свои с примесью google и wikipedia)

Факториал

Факториалы манили меня еще в школе. Красивое слово, необычный (для того времени) синтаксис. Я всегда с некоторой издевкой мог блеснуть талантом, ”вычисляя” факториал простого числа. Став старше, и особенно влюбившись в python, моя страсть к факториалам не просто не уменьшилась, скорее наоборот, именно поэтому эта статья полностью будет посвящена всевозможным факториалам. Но сначала немного математики. Итак,

Факториалом числа n (обозначается n!) называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Wikipedia

Физический смысл (если так можно сказать) факториала определяется как число упорядочиваний множества из n элементов. Переводя с непонятного на русский, давайте представим себе колоду из 36 карт. Каждый раз, когда мы тасуем эту колоду мы создаем уникальное упорядочивание, одно из Возможно, именно поэтому карточные игры так популярны! &#128578;

Читайте также:  Игра edge of tomorrow

Но ближе к делу! Наверняка каждый, кто изучал python, знает как вычислить факториал, причем не одним способом. Когда изучают lambda-функции, пишут так:

… и мало кто что понимает!

Когда изучают рекурсию, пишут так:

Это уже понятней! А те, кто совсем хорошо знают python, вообще не парятся и делают так:

Но мы пойдём своим путём. Мы не будем использовать math, вместо этого мы напишем свой собственный модуль. Откройте свой любимый редактор (я буду пользоваться стандартным IDLE), создайте файл factorials.py и давайте творить! В качестве простейшей задачи сначала давайте определим функцию для вычисления факториала. Я буду делать это с помощью lambda, как в первом примере:

Теперь, если запустить скрипт на выполнение, то можно будет прямо в интерактивном интерпретаторе набрать

Казалось бы супер! И все примеры, которые можно найти в интернете здесь заканчиваются на позитивной ноте, однако как обычно все не так просто. На самом деле наша функция абсолютно некорректна и простейший способ проверить это — передать ей неадекватное значение. И если с совсем бредятинкой типа str python справится сам, то вот значение типа float легко пропустит. Не верите? Попробуйте посчитать факториал 4.125. Не бином Ньютона, что наша новорожденная функция должна работать только с целочисленным типом данных, следовательно нужно переписать её так:

Во-о-о-т! Теперь скормить ересь не получится, так как сразу будет подниматься TypeError . Но и это еще не всё. Если мы попробуем посчитать факториал -5 (минус пяти), то получим в ответ единицу, а это тоже неадекватно. Факториал определяется только для целых и положительных цифр, следовательно нужно ещё раз переписать код.

Для эстетов еще могу порекомендовать обработать значения типа float , которые по сути являются целыми, типа 25.0, 12.0 etc. Я этого делать не буду, так как предпочитаю более жёстко обращаться с типами данных.

Обратный факториал

Простейшая задача выполнена, но я бы не стал городить всё это только ради простейшей задачи! &#128578; Куда более интересно найти обратный факториал. Легко догадаться, что

Обратным факториалом числа i называется такое число, факториал которого будет равен i.

Ссылка на основную публикацию
Что такое windows 10 pro
Кто бы мог подумать, но до с даты релиза Windows 10 прошел почти год. Сотни миллионов пользователей уже обзавелись новой...
Что делать после заправки картриджа canon
Многие пользователи принтеров Canon после очередной дозаправки картриджей сталкиваются с различными неполадками в работе устройств, в том числе и с...
Что делать после скачивания драйвера для принтера
Часто задаваемый вопрос пользователей принтеров – как установить драйвер на принтер или МФУ. Вставьте флешку с драйвером в компьютер, в...
Что такое winmail dat
Получив очередное письмо по почте, пользователь может столкнуться с ситуацией, что часть информации в нем отсутствует и в списке файлов...
Adblock detector