Что такое большая полуось эллипса

Что такое большая полуось эллипса

Эллипс также можно описать как

Соотношения между элементами эллипса

  • Малая полуось: ;
  • Расстояние от фокуса до ближней вершины: ;
  • Расстояние от фокуса до дальней вершины: ;
  • Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:
  • ;
  • ;
  • ;
  • ;
  • Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:
    • ;
    • ;
    • Координатное представление

      Каноническое уравнение

      Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

      Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что В этом случае величины a ‘ и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

      Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:

      Координаты фокусов эллипса:

      Эллипс имеет две директриссы, уравнения которых можно записать как

      Фокальный параметр (т.е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

      Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом k:

      Уравнение касательных, проходящих через точку

      Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент k: :

      Уравнение нормали в точке

      Параметрическое уравнение

      Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

      где — параметр уравнения.

      Уравнение в полярных координатах

      Если принять фокус эллипса за полюс, а ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

      где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр.

      Пусть r1 и r2 расстояния до данной точки эллипса из первого и второго фокусов. Пусть, также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол φ отсчитывается от направления на второй полюс. Тогда, из определения эллипса,

      .

      .

      Исключая r2 из последних двух уравнений, получаем

      получаем искомое уравнение.

      Другое уравнение в полярных координатах:

      Длина дуги эллипса

      Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

      Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

      Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллипическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:

      ,

      где — полный эллиптический интеграл второго рода.

      Приближённые формулы для периметра

      YNOT: где Максимальная погрешность этой формулы

      0.3619 % при эксцентриситете эллипса

      0.979811 (соотношение осей

      1/5). Погрешность всегда положительная.

      Очень приближенная формула

      Площадь эллипса

      Площадь эллипса вычисляется по формуле

      где и полуоси эллипса.

      Построение эллипса

      Пусть даны две взаимноперпендикулярные прямые (оси будущего эллипса) и два отрезка длиной a (большая полуось) и b (малая полуось). Точку пересечения прямых обозначим как O, это центр эллипса.

      C помощью циркуля

      1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямой точки P1 и Р2, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q1 и Q2. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P1Р2 и Q1Q2 — его большая и малая оси, соответственно.
      2. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке Q1 (или Q2) отметим на отрезке P1Р2 точки F1 и F2. Полученные точки являются фокусами эллипса.
      3. На отрезке P1Р2 выберем произвольную точку T. Затем с помощью циркуля начертим две окружности: первую — радуса, равным длине отрезка TP1, с центром в точке F1 и вторую радуса, равным длине отрезка TP2, с центром в точке F2. Точки пересечения этих окружностей принадлежат искомому эллипсу, т.к. сумма расстояний из обоих фокусов равна длине большой оси 2a.
      4. Повторяя необходимое число раз шаги предыдущего пункта, получим искомый эллипс.

      C помощью циркуля и линейки

      1. Раствором циркуля, равным a, с центром в точке O отметим на одной из прямой точки P1 и Р2, а на второй прямой раствором, равным b — точки Q1 и Q2. Полученные точки являются вершинами эллипса, а отрезки P1Р2 и Q1Q2 — его большая и малая оси, соответственно.
      2. С помощью линейки проводим через точку O произвольную наклонную линию. Затем раствором циркуля, равным а, с центром в точке O отмечаем на ней точку S, а раствором, равным b — точку R.
      3. Затем из точки S опускаем перепендикуляр на прямую P1Р2. Для этого произвольным раствором циркуля (но бо́льшим, чем расстояние от точки до прямой), с центром в точке S отмечаем на отрезке P1Р2 две точки, переносим в них циркуль и отмечаем тем же радиусом точку персечения окружностей S. Затем с помощью линейки соединяем точкиS и S, это и есть искомый перпендикуляр.
      4. Аналогичным способом опускаем перепендикуляр из точки R на прямую Q1Q2.
      5. Точка пересечения построенных перпендикуляров принадлежит эллипсу.
      6. Повторяя необходимое число раз шаги четырёх предыдущих пунктов, получим искомый эллипс.
      Читайте также:  Что делать если вк не восстанавливает страницу

      Ссылки

      • А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
      • И. Бронштейн, Эллипс, Квант, № 9, 1970.
      • А. И. Маркушевич.Замечательные кривые «Популярные лекции по математике». Выпуск 04.

      См. также

      Кривые

      Плоские кривые Алгебраические Конические сечения (2-й порядок) Эллиптические (3-й порядок) Лемнискаты (2n порядок) Аппроксимационные кривые Другие (в скобках указан порядок) Циклоидальные (порождённые
      катящейся окружностью) Другие Неплоские кривые Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка Связанные понятия Определения кривой Аналитическая кривая • Кривая Жордана • Канторова кривая • Кривая Урысона Преобразованные кривые Эволюта • Эвольвента • Каустика
      Конические сечения
      Главные типы Эллипс • Гипербола • Парабола
      Вырожденные Точка • Прямая • Пара прямых
      Частный случай эллипса Окружность
      Геометрическое построение Коническое сечение • Шары Данделена
      Математика • Геометрия

      Wikimedia Foundation . 2010 .

      Смотреть что такое "Малая полуось" в других словарях:

      малая полуось b — 3.22 малая полуось b: Полярная ось эллипсоида. Примечание Для эллипсоида, представляющего Землю, это расстояние от его центра до любого из полюсов. Источник: ГОСТ Р 52572 2006: Географические информационные системы. Координатная основа. Общие… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

      Малая — незначительное воздействие жидкости на пол, при котором поверхность покрытия пола сухая или слегка влажная; покрытие пола жидкостями не пропитывается. Источник: МДС 31 12.2007: Полы жилых, общественных и производственных зд … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

      Большая полуось — это один из основных геометрических параметров объектов, образованных посредством конического сечения. Содержание 1 Эллипс 2 Парабола 3 Гипербола … Википедия

      Эрос (малая планета № 433) — Эрос (Eros), малая планета № 433, открытая в 1898 любителем астрономии Г. Виттом в Берлине. Э. относится к числу малых планет земной группы, которые в своём движении вокруг Солнца могут близко подходить к Земле. Период обращения Э. вокруг Солнца… … Большая советская энциклопедия

      Церера (малая планета №1) — Церера Церера в видимом цвете. Снимок телескопа Хаббла Открытие Первооткрыватель Джузеппе Пьяцци Дата открытия … Википедия

      Зена (малая планета) — 136199 Эрида Открытие A Первооткрыватель Майкл Браун, Чедвик Трухильо, Дэвид Рабинович Дата обнаружения … Википедия

      Икар (малая планета) — 1566 Икар [[Файл:|275px|]] Открытие A Первооткрыватель Вальтер Бааде Дата обнаружения 27 июня 1949 Альтернативные обозначения … Википедия

      Кольцово (малая планета) — 9154 Кольцово [[Файл:|275px|]] Открытие A Первооткрыватель Людмила Черных Дата обнаружения 16 сентября 1982 Альтернативные обозначения … Википедия

      Эрис (малая планета) — 136199 Эрида Открытие A Первооткрыватель Майкл Браун, Чедвик Трухильо, Дэвид Рабинович Дата обнаружения … Википедия

      Юнона (малая планета № 3) — 3 Юнона [[Файл:|275px|]] Открытие A Первооткрыватель Карл Хардинг Дата обнаружения 1 сентяб … Википедия

      Понятие о кривых второго порядка

      Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

      Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

      ,

      где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

      При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

      Эллипс, заданный каноническим уравнением

      Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

      Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

      Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

      ,

      где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

      Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

      Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

      Читайте также:  Как в инстаграмме написать город в профиле

      Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

      Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

      Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

      Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

      Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

      Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

      .

      Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

      ,

      называются фокусами.

      называется эксцентриситетом эллипса.

      Отношение b/a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

      Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

      Решение. Делаем несложные умозаключения:

      — если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

      — если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

      Подставляем и вычисляем:

      Результат — каноническое уравнение эллипса:

      .

      Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

      Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

      .

      Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

      Составляем каноническое уравнение эллипса:

      Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

      Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

      .

      Получаем фокусы эллипса:

      Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

      Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

      1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

      2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

      3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

      Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

      Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

      .

      Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

      Прямые, определяемые уравнениями

      ,

      называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

      Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

      ,

      где и — расстояния этой точки до директрис и .

      Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

      Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

      .

      Получаем уравнение директрис эллипса:

      Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

      Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

      .

      Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

      Уравнение эллипса готово:

      Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

      Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

      .

      Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

      Читайте также:  Как одеть парашют в gta 5

      Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа "эр" с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

      Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

      ,

      так как из исходного уравнения эллипса .

      Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

      Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности (Pleft(
      ight)) до ее центра называется радиусом . Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости. Уравнение окружности радиуса (R) с центром в начале координат ( каноническое уравнение окружности ) имеет вид
      ( + = ).

      Уравнение окружности радиуса (R) с центром в произвольной точке (Aleft(
      ight)) записывается как
      ( <left(
      ight)^2> + <left(
      ight)^2> = ).

      Уравнение окружности, проходящей через три точки , записывается в виде: (left| <egin<*<20>> <+ > & x & y & 1\ & <> & <> & 1\ & <> & <> & 1\ & <> & <> & 1 end>
      ight| = 0.\)
      Здесь (Aleft( <,>
      ight)), (Bleft( <,>
      ight)), (Cleft( <,>
      ight)) − три точки, лежащие на окружности.

      Уравнение окружности в параметрической форме
      ( left < eginx &= R cos t \ y &= Rsin t end
      ight., ;;0 le t le 2pi),
      где (x), (y) − координаты точек окружности, (R) − радиус окружности, (t) − параметр.

      Общее уравнение окружности
      (A + A + Dx + Ey + F = 0)
      при условии (A
      e 0), (D^2 + E^2 > 4AF).
      Центр окружности расположен в точке с координатами (left(
      ight)), где
      (a = — largefrac<<2A>>
      ormalsize,;;b = — largefrac<<2A>>
      ormalsize.)
      Радиус окружности равен
      (R = sqrt <largefrac<<+ — 4AF>><<2left| A
      ight|>>
      ormalsize> )

      Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек ( фокусов эллипса ) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через (2c). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса . У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами . Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса . Большая полуось обозначается через (a), малая полуось − через (b). Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением :
      (largefrac<<>><<>>
      ormalsize + largefrac<<>><<>>
      ormalsize = 1.)

      Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:
      ( + = 2a),
      где (
      ), () − расстояния от произвольной точки (Pleft(
      ight)) до фокусов () и (), (a) − большая полуось эллипса.

      Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
      ( = + ),
      где (a) − большая полуось эллипса, (b) − малая полуось, (c) − половина фокусного расстояния.

      Уравнение эллипса в параметрической форме
      ( left < eginx &= acos t \ y &= bsin t end
      ight., ;;0 le t le 2pi),
      где (a), (b) − полуоси эллипса, (t) − параметр.

      Общее уравнение эллипса
      (A + Bxy + C + Dx + Ey + F = 0),
      где ( — 4AC Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат
      (A + C + Dx + Ey + F = 0),
      где (AC > 0).

      Периметр эллипса
      (L = 4aEleft( e
      ight)),
      где (a) − большая полуось эллипса, (e) − эксцентриситет, (E) − полный эллиптический интеграл второго рода.

      Приближенные формулы для периметра эллипса
      (L approx pi left[ <largefrac<3><2>
      ormalsizeleft(
      ight) — sqrt >
      ight],;;L approx pi sqrt <2left( <+ >
      ight)>,)
      где (a), (b) − полуоси эллипса.

      Площадь эллипса
      (S = pi ab)

      Ссылка на основную публикацию
      Что такое windows 10 pro
      Кто бы мог подумать, но до с даты релиза Windows 10 прошел почти год. Сотни миллионов пользователей уже обзавелись новой...
      Что делать после заправки картриджа canon
      Многие пользователи принтеров Canon после очередной дозаправки картриджей сталкиваются с различными неполадками в работе устройств, в том числе и с...
      Что делать после скачивания драйвера для принтера
      Часто задаваемый вопрос пользователей принтеров – как установить драйвер на принтер или МФУ. Вставьте флешку с драйвером в компьютер, в...
      Что такое winmail dat
      Получив очередное письмо по почте, пользователь может столкнуться с ситуацией, что часть информации в нем отсутствует и в списке файлов...
      Adblock detector